Решить задачу Коши x-2y+3dx+3y-2x+4dy=0

Выполним проверку того, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого проверим следующее равенство:
∂P∂y=∂Q∂x
∂P∂y=(x-2y+3)y'=-2
∂Q∂x=(3y-2x+4)x'=-2
Так как данное равенство выполнилось, данное уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах . Поэтому оно записано в следующем виде:
∂F∂xdx+∂F∂ydy=0
∂F∂x=x-2y+3
∂F∂y=3y-2x+4
Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить общий интеграл F(x;y)=0.
Далее найдём функцию F:
F=x-2y+3dx=x22-2xy+3x+φ(y)
Далее продифференцируем полученный результат по y:
∂F∂y=(x22-2xy+3x+φ(y))y'=-2x+φy'(y)
Приравняем с изначальной частной производной:
-2x+φy'y=3y-2x+4
φy'y=3y+4
Найдём данную функцию, для этого возьмём интеграл от правой части:
φy=3y+4dy=3y22+4y+C
Подставим полученное значение в функцию F и получим общий интеграл данного уравнения:
F=x22-2xy+3x+3y22+4y+C
Теперь используем начальное условие:
12-4+3+6+4+C=0
192+C=0
C=-192
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
F=x22-2xy+3x+3y22+4y-192