Решить уравнения yy''-y'2=y2lny y0=1 y'0=1

Данное уравнение является уравнением, допускающим понижение порядка. Так как в уравнении в явном виде не содержится переменная x, сделаем следующую замену:
y'=z
Тогда:
y''=z'z
Подставляем в уравнение:
yz'z-z2=y2lny
z'z-z2y=ylny
Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка, сделаем замену:
z=uv
Тогда:
z'=u'v+uv'
Подставляем в уравнение:
uvu'v+uv'-u2v2y=ylny
uv2u'+u2vv'-u2v2y=ylny
uv2u'+u2vv'-v2y=ylny
Получаем систему уравнений:
vv'-v2y=0uv2u'=ylny
Решим первое уравнение системы:
vv'-v2y=0
vdvdy=v2y
vdvv2=dyy
dvv=dyy
lnv=lny
v=y
Подставляем во второе уравнение системы:
uy2u'=ylny
uu'=lnyy
udu=lnyydy
udu=lnyydy
u22=ln2y2+C1
u2=ln2y+C1
u=±ln2y+C1
Сделаем обратную замену:
z=uv=±yln2y+C1
Сделаем ещё одну обратную замену:
z=y'=±yln2y+C1
Тогда общее решение исходного уравнения выглядит так:
y=e±12C1e-C2-xe2C2+2x-1