Решить уравнения y''-9y'+18y=26cosx-8sinx

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2-9k+18=0
D=81-4*1*18=81-72=9
k1=9-32=62=3
k2=9+32=122=6
Так как получены различные действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e3x+C2e6x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Acosx+Bsinx
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=-Asinx+Bcosx
y''=-Acosx-Bsinx
Подставляем в уравнение:
-Acosx-Bsinx+9Asinx-9Bcosx+18Acosx+18Bsinx=26cosx-8sinx
17Acosx+17Bsinx+9Asinx-9Bcosx=26cosx-8sinx
Приравнивая коэффициенты между соответствующими выражениями, получаем систему уравнений:
17A-9B=269A+17B=-8
Решив данную систему, получим, что:
A=1;B=-1
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=cosx-sinx
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e3x+C2e6x+cosx-sinx
Теперь найдём первую производную от полученного общего решения:
y'=3C1e3x+6C2e6x-sinx-cosx
Воспользуемся начальными условиями:
y0=C1+C2+1=0
y'0=3C1+6C2-1=2
Получили систему уравнений:
C1+C2=-13C1+6C2=3
Решив данную систему, получим, что:
C1=-3, C2=2
Тогда искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, выглядит так:
y=-3e3x+2e6x+cosx-sinx