Решить уравнения колебания струны методом Фурье

Решение может быть представлено в виде:
ux,t=k=1∞akcoskπatl+bksinkπatlsinπkxl
ak=2l0lφxsinπkxldx, bk=2πka0lψ(x)sinπkxldx
В нашем случае l=2
ak=02φxsinπkx2dx=0322hx3sinπkx2dx+3222h2-xsinπkx2dx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u1=2hx3 dv1=sinπkx2dx u2=2h2-x dv2=sinπkx2dx
du1=2h3dx v1=2πkcosπkx2 du2=-2hdx v2=2πkcosπkx2
=4hx3πkcosπkx2320-4h3πk032cosπkx2dx+4h2-xπkcosπkx2232+4hπk322cosπkx2dx=
=2hπkcos3πk4-8h3π2k2sinπkx2320-8h3πkcos3πk4+8h3π2k2sinπkx2232=
=-2h3πkcos3πk4-8h3π2k2sin3πk4-8h3π2k2sin3πk4=-2h3πkcos3πk4-16h3π2k2sin3πk4
bk=2πka02ψxsinπkx2dx=2πka02x2-xsinπkx2dx=2πka022x-x2sinπkx2dx
Применим формулу интегрирования по частям:
u=2x-x2 dv=sinπkx2dx
du=2-2x v=-2πkcosπkx2
=-2πk2x-x2cosπkx220+4πk021-xcosπkx2dx=4πk021-xcosπkx2dx=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=1-x dv=cosπkx2dx
du=-dx v=2πksinπkx2
=8π2k21-xsinπkx220+8π2k202sinπkx2dx=-16π3k3cosπkx220=
=-16π3k3cosπk+16π3k3=-16π3k3(-1)k+16π3k3
ux,t=
k=1∞(-2h3πkcos3πk4-16h3π2k2sin3πk4)coskπat2+(-16π3k3(-1)k+16π3k3)sinkπat2sinπkx2