Решить уравнение y''-10y'+25y=5sin(5x)y0=1110

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:
y''-10y'+25y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2-10k+25=0
(k-5)2=0 => k1,2=5
Корни характеристического уравнения действительные кратные, поэтому общее решение однородного уравнения:
y0=C1e5x+C2xe5x
Правая часть неоднородного уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом k=±5i, не совпадающим с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде:
y=Asin5x+Bcos5x
y'=5Acos5x-5Bsin(5x)
y''=-25Asin5x-25Bcos5x
Подставим данные значения в исходное уравнение:
-25Asin5x-25Bcos5x-105Acos5x-5Bsin5x+
+25Asin5x+Bcos5x=5sin5x
-50Acos5x+50Bsin5x=5sin5x
-50A=050B=5 => A=0B=110
y=110cos5x
Общее решение уравнения:
y=y0+y=C1e5x+C2xe5x+110cos5x
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=1110 => C1+110= 1110 => C1=1
y'=5C1e5x+C2e5x+C2xe5x-12sin5x
y'0=0 => 5C1+C2=0
C1=15C1+C2=0 => C1=1C2=-5
Частное решение уравнения:
y=e5x-5xe5x+110cos5x