Решить систему уравнений с применением теории матриц

Определяем опорные реакции из уравнения статики:
MA=0;mA-q⋅3l422+M+RBl=0;mA-12⋅3⋅4422+20+RBl=0;mA-36+RBl=0;
MB=0;mA+q⋅3l43l8+l4-RAl=0;mA+12⋅3⋅443⋅48+44-RAl=0;mA+90+RBl=0;
Универсальное уравнение прогибов на пролете AB
EJy=-mAx22+RAx36-qx424+qx-34l424
При x = 0 yB = 0, при x = 4 м yB = 0
-mAx22+RAx36-qx424+qx-34l424=0
-mA⋅422+RA⋅436-q⋅4424+q4-34⋅4424=0
-mA⋅8+RA⋅10,67-12⋅4424+124-34⋅4424=0
-mA⋅8+RA⋅10,67-127,5=0
Решая систему уравнений
mA+90-RAl=0-mA⋅8+RA⋅10,67-127,5=0
Получим
mA=27,09 кН⋅м;RA=32,27 кН;RB=3,73 кН
Проверка
Y=0;RA-q⋅34l+RB=32,27-12⋅34⋅4+3,73=0
Построение эпюры изгибающих моментов Mx
1-й участок 0≤x1≤3 м
Mx1=mA-RAx1+qx122
Mx1=0=-mA=-27,09 кН⋅м
Mx1=3 м=-mA+RA⋅3-q⋅32 2=-27,09+32,27⋅3-12⋅32 2=15,73 кН⋅м
2-й участок 0≤x2≤1 м
Mx2=mA-RA34l+x2+q⋅34l⋅3l8+x2
Mx2=0=-mA+RA⋅3-q⋅32 2=-27,09+32,27⋅3-12⋅32 2=15,73 кН⋅м
Mx2=1 м=-mA+RA⋅4-q⋅3⋅2,5=-27,09+32,27⋅4-12⋅3⋅2,5=12 кН⋅м
По полученным результатам строим эпюру изгибающих моментов
Опасным сечением для балки является сечение в точке опоры A, где Mx max=27,09 кН⋅м, Qy max=32,27 кН.
Составляем условие прочности для балки c двутавровым поперечным сечением:
σmax=Mx maxWx≤σ=160 МПа
[Wx]=Mx maxσmax=27,09⋅103160⋅106=169,3 см3
Для расчетного значения [Wx] выбираем из таблицы сортамента двутавр № 20а Wx=167 см3, A=25,2 см2, Jx=1670 см4
Тогда
σдейств=MmaxWx=27,09⋅103167⋅10-6=162,2 МПа
При этом перегруз составит:
П=σдейств-σσ·100%=162,2-160160·100%=1,385%
Так как перегруз может быть не больше 5%, то принимаем двутавр № 20а.
Построение упругой линии балки:
x=0;y1=0;
x=1 м; EJy2=-mAx22+RAx36-qx424=-27,09⋅122+32,27⋅136-12⋅1424=-8,667;y2=-8,667EJ кН⋅м3=-8,667⋅1032⋅1011⋅1670⋅10-8=-2,59⋅10-3 м
x=2 м;
EJy2=-mAx22+RAx36-qx424=-27,09⋅222+32,27⋅236-12⋅2424=-19,15;y2=-19,15EJ кН⋅м3=-19,15⋅1032⋅1011⋅1670⋅10-8=-5,73⋅10-3 м
x=3 м;
EJy3=-mAx22+RAx36-qx424=-27,09⋅322+32,27⋅336-12⋅3424=-17,19;y3=-17,19EJ кН⋅м3=-17,19⋅1032⋅1011⋅1670⋅10-8=-5,15⋅10-3 м
x=3 м;
EJy4=-mAx22+RAx36-qx424+qx-34l424=-27,09⋅322+32,27⋅336-12⋅3424+12⋅1424=0;y4=0