Решить операторным методом систему линейных дифференциальных уравненийx+7x-y=0y+2x+5y=0 x0=1 y0=1

По таблице найдем изображение по Лапласу
x≑pXp y≑pYp
Получим систему операторных уравнений
pXp+7Xp-Yp=0pYp+2Xp+5Yp=0
Xpp+7- Yp=02Xp+Yp(p+5)=0
p+7-12p+5=p+7p+5+2=p2+12p+37=(p+6)2+1
Корни комплексные -6±i
X(p)=C1p+6(p+6)2+1+C2(1(p+6)2+1) →xt=e-6t(C1cost+C2sint)
yt=e-6t(C1cost-C1sint)
Используем начальное условие
x0=1 y0=1
Получим C1=1 C2=0, тогда
xt=e-6tcostyt=e-6tcost-e-6tsint
Найти изображение по графику оригинала
fx=0, при x<0x, при 0≤x≤aa, при x>a
Преобразим Лапласа оригинала fx
FP=0+∞e-pxfxdx=0ae-pxxdx+a+∞e-pxadx
0ae-pxxdx=x=ue-pxdx=dϑdx=du-1pe-px=ϑ=-xpe-xpa0+1p0ae-pxdx=-ape-pa-1p2e-paa0=-ape-pa-1p2e-pa-1p2
a0+∞e-pxdx=-ape-px∞a=-aplimb→∞e-pxba=-ape-pb-e-ap=ae-app
FP=-ae-pap-e-pap2+1p2+ae-pap=1-e-pap2