Решить однородные линейные разностные уравнения (с использованием и без использования преобразования Лапласа)

A) xn+2-2xn+1-3xn=0, x0=0, x1=3
1) с использованием преобразования Лапласа
Применяем дискретное преобразование Лапласа:
xn X*p
xn+1 epX*p-x0=epX*p
xn+2 epepX*p-epx0-x1=e2pX*p-3ep
И получаем операторное уравнение:
e2pX*p-3ep-2epX*p-3X*p=0
e2p-2ep-3X*p=3ep
X*p=3epep-3ep+1
X*p=34epep-3-epep+1
Используем соотношение:
an epep-a
Восстанавливаем оригинал и получаем решение уравнения:
xn=343n--1n
2) без использования преобразования Лапласа
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
k2-2k-3=0
k-3k+1
k1=3;k2=-1
По виду корней (вещественные) получаем общее решение уравнения:
xn=c13n+c2(-1)n
Для нахождения частного решения, подставляем начальные условия:
0=c1+c23=3c1-c2 c1=34c2=-34
Окончательно имеем:
xn=343n--1n
Как видим, результаты совпали.
b) xn+2+22x[n+1]+121x[n]=0, x[0]=0, x[1]=11
1) с использованием преобразования Лапласа
Применяем дискретное преобразование Лапласа:
xn X*p
xn+1 epX*p-x0=epX*p
xn+2 epepX*p-epx0-x1=e2pX*p-11ep
И получаем операторное уравнение:
e2pX*p-11ep+22epX*p+121X*p=0
e2p+22ep+121X*p=11ep
X*p=11epep+112
C учетом того, что:
ddpepep+11=11epep+112
Применяем теорему о дифференцировании изображения:
-1knkfn dkdpkF*p
Восстанавливаем оригинал и получаем решение уравнения:
xn=-n-11n
2) без использования преобразования Лапласа
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
k2+22k+121=0
(k+11)2=0
k1,2=-11
По виду корней (вещественный, кратности 2) получаем общее решение разностного уравнения:
xn=(c1n+c2)(-11)n
Для нахождения частного решения, подставляем начальные условия:
0=c211=-11(c1+c2) c1=-1c2=0
Получаем:
xn=-n∙-11n
Как видим, результаты совпали.