Решить однородные линейные разностные уравнения (с использованием и без использования дискретного преобразования Лапласа)

А) с использованием дискретного преобразования Лапласа
Применяем дискретное преобразование Лапласа:
xn X*p
xn+1 epX*p-x0=epX*p
xn+2 epepX*p-x1=e2pX*p-ep
И получаем операторное уравнение:
e2pX*p-ep-3epX*p-4X*p=0
e2p-3ep-4X*p=ep
ep+1ep-4X*p=ep
X*p=epep+1ep-4
X*p=15epep-4-epep+1
Используем соотношение:
an epep-a
И восстанавливаем оригинал:
xn=4n--1n5
б) без использования дискретного преобразования Лапласа
Записываем и решаем характеристическое уравнение:
r2-3r-4=0
r-4r+1=0
r1=4,r2=-1
Тогда общее решение уравнения:
xn=c14n+c2-1n
Используем начальные условия 𝑥[0] = 0, 𝑥[1] = 1:
0=c1+c21=4c1-c2 c1=15c2=-15
И решение уравнения:
xn=4n--1n5
Как видим, результаты совпали.