Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2-5k+6=0
D=25-4*1*6=25-24=1
k1=5-12=42=2
k2=5+12=62=3
Так как получились различные действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e2x+C2e3x
Так как ни один из корней не совпал с показателем экспоненты в правой части, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Ax+Bex=Axex+Bex
Найдём первую и вторую производную от данного выражения:
y'=Aex+Axex+Bex
y''=Aex+Aex+Axex+Bex=2Aex+Axex+Bex
Подставляем в исходное уравнение:
2Aex+Axex+Bex-5Aex-5Axex-5Bex+6Axex+6Bex=x+4ex
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-3Aex+2Axex+2Bex=x+4ex
Приравнивая коэффициенты между соответствующими выражениями, получаем систему уравнений:
2A=1-3A+2B=4→A=12-32+2B=4→A=122B=112→A=12B=114
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=xex2+11ex4
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e2x+C2e3x+xex2+11ex4
Ответ: y=C1e2x+C2e3x+xex2+11ex4