Решить краевую задачу y''+2y'+5y=-3sin2x

D2ydx2+2dydx+5y=-3sin2x
d2ydx2+2dydx+5y=0
d2dx2eλx+2ddxeλx+5eλx=0
λ2eλx+2λeλx+5eλx=0
λ2+2λ+5eλx=0
λ2+2λ+5=0
λ=-1+2i или λ=-1-2i
y=y1+y2=C1e-1-2ix+C2e-1-2ix
y=C1e-xcos2x+ie-xsin2x+C2(e-xcos2x-ie-xsin2x)
y=C1+C2e-xcos2x+i(C1-C2)e-xsin⁡(2x)
y=C1e-xcos2x+C2e-xsin⁡(2x)
yp=a1cos2x+a2sin⁡(2x)
dypdx=ddxa1cos2x+a2sin2x=-2a1sin2x+2a2cos⁡(2x)
d2ypdx2=d2dx2a1cos2x+a2sin2x=-4a1cos2x-4a2sin⁡(2x)
d2ypdx2+2dypdx+5yp=-3sin⁡(2x)
-4a1cos2x-4a2sin2x+2-2a1sin2x+2a2cos2x+
+5a1cos2x+a2sin2x=-3sin⁡(2x)
a1+4a2cos2x+-4a1+a2sin2x=-3sin⁡(2x)
a1+4a2=0
-4a1+a2=-3
a1=1217
a2=-317
yp=1217cos2x-317sin⁡(2x)
y=yc+yp=1217cos2x-317sin2x+C1e-xcos2x+C2e-xsin⁡(2x)
y0=1:
C1+1217=1
yπ12=0
123e-π12C1+12e-π12C2-334+3317=0
C1=517
C2=117(-53+3eπ12-123eπ12)
y=1217cos2x-317sin2x+e-xcos2xC1+e-xsin⁡(2x)C2
y=117e-x(cos2x12ex+5-3ex+3eπ12-1+43+53sin2x)