Решить дифференциальные уравнения y'=2y+z+2exz'=y+2z+3e4x

Продифференцируем первое уравнение по x:
y''=2y'+z'+2ex.
Значение z' подставим из второго уравнения
y''=2y'+y+2z+3e4x+2ex.
Значение z находим из первого уравнения z=y'-2y-2ex и подставляем
y''=2y'+y+2y'-2y-2ex+3e4x+2ex
y''-4y'+3y=3e4x-2ex.
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
y''-4y'+3y=0⟹k2-4k+3=0⟹k1=1;k2=3⟹
yодн.x=C1ex+C2e3x.
Частное решение ищем в виде: y*=Ae4x+Bxex.
y*'=4Ae4x+Bex+Bxex;
y*''=16Ae4x+2Bex+Bxex;
y''-4y'+3y=3e4x-2ex⟹
16Ae4x+2Bex+Bxex-44Ae4x+Bex+Bxex+3Ae4x+Bxex=3e4x-2ex
-2Bex+3Ae4x=3e4x-2ex⟹3A=3-2B=-2⟹A=1B=1⟹y*=e4x+xex.
Тогда общее решение уравнения:
yx=yодн.x+y*x=C1ex+C2e3x+e4x+xex.
Вторую функцию находим согласно первому уравнению:
z=y'-2y-2ex=C1ex+3C2e3x+4e4x+ex+xex-2C1ex+C2e3x+e4x+xex-2ex=-C1ex+C2e3x+2e4x-xex-ex.
Ответ: yx=C1ex+C2e3x+e4x+xexzx=-C1ex+C2e3x+2e4x-xex-ex.