Решить дифференциальные уравнения y''+2y'=6exsinx

Решаем сначала однородное уравнение:
y''+2y'=0.
Составляем характеристическое уравнение:
y''+2y'=0⟹k2+2k=0⟹kk+2=0⟹
k1=0;k2=-2 .
Корни характеристического уравнения действительные и разные, следовательно,
yоднx=C1e0x+C2e-2x=C1+C2e-2x.
Числа z=α±βi=1±i не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения запишется в виде y*=exAcosx+Bsinx.
Найдем
y*'=exAcosx+Bsinx+ex-Asinx+Bcosx=excosxA+B+sinx(B-A);
y*''=excosxA+B+sinx(B-A)+ex-sinxA+B+cosx(B-A)=excosxA+B+B-A+sinxB-A-A-B=excosx∙2B+sinx∙-2A
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
excosx∙2B+sinx∙-2A+2excosxA+B+sinx(B-A)=6exsinx
cosx∙2A+4B+sinx∙-4A+2B=6sinx
⟹2A+4B=0-4A+2B=6⟹A=-65B=35.
Тогда y*=ex-65cosx+35sinx.
Общее решение исходного уравнения:
yx=yоднx+y*x=C1+C2e-2x+ex-65cosx+35sinx.
Ответ: yx=C1+C2e-2x-65excosx+35exsinx.