Решить дифференциальные уравнения 1+y'2=2yy''

Данное уравнение второго порядка не содержит переменную x в явном виде.
Воспользуемся подстановкой:
y'=py, y''=p'p.
1+p2=2y∙p'p
Получили уравнение с разделяющимися переменными . Разделяем переменные:
2pdp1+p2=dyy
Интегрируем обе части уравнения:
2pdp1+p2=dyy
d1+p21+p2=dyy
ln1+p2=lny+lnC1
1+p2=C1y⟹p2=C1y-1⟹py=±C1y-1.
Подставим условия y'1=1, y1=1:
1=C1∙1-1⟹C1=2⟹py=2y-1.
Делаем обратную замену:
p(y)=y'=2y-1
dy2y-1=dx
2y-1=x+C2.
Подставим условие y1=1:
2∙1-1=1+C2⟹C2=0.
2y-1=x⟹yx=x2+12.
Ответ: yx=x2+12.