Решить дифференциальное уравнение первого порядка

Преобразуем уравнение:
dydx=x2+y22x2
Вместо x,y поставим ax,ay:
dydx=(ax)2+(ay)22(ax)2=a2x2+a2y22a2x2=x2+y22x2
Получили исходное дифференциальное уравнение, поэтому это однородное дифференциальное уравнение, решаемое заменой:
y=tx, y'=t'x+t
Подставляем:
t'x+t=x2+(tx)22x2
t'x+t=1+t22
t'x=1+t22-t
dtdxx=1+t2-2t2
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделим их:
dt1+t2-2t=dx2x
Интегрируем обе части:
dt1+t2-2t=12dxx
Решаем первый интеграл:
dt1+t2-2t=dtt-12=Заменаz=t-1dz=dt=dzz2=z-2dz=z-2+1-2+1+C=
=-1z+C=-1t-1+C
Второй интеграл:
12dxx=12lnx+C
Получаем:
-1t-1=12lnx+C
Возвращаемся к замене:
-1yx-1=12lnx+C
xx-y=12lnx+C
Общий интеграл:
C=xx-y-12lnx