Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Матричный вид записи: Ax=b, где
A=
6
4
5
2
3
3
2
4
1
2
3
2
−2
1
0
9
6
1
3
2
 , b=
1
3
−7
2
Для решения системы, построим расширенную матрицу:
6
4
5
2
3
1
3
2
4
1
2
3
3
2
−2
1
0
−7
9
6
1
3
2
2
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1,1. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -1/2,-1/2,-3/2 соответственно:
6
4
5
2
3
1
0
0
3
2
0
1
2
5
2
0
0
− 9
2
0
− 3
2
− 15
2
0
0
− 13
2
0
− 5
2
1
2
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элемента a2,3 . Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на 3,13/3 соответственно:
6
4
5
2
3
1
0
0
3
2
0
1
2
5
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− 1
3
34
3
Ведущий элемент a3 5=0. Следовательно, для продолжения процедуры нужно выбирать ненулевой ведущий элемент посредством перестановки строк . Для этого выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 5 ниже элемента a3 5и меняем местами строки 3 и 4.
6
4
5
2
3
1
0
0
3
2
0
1
2
5
2
0
0
0
0
− 1
3
34
3
0
0
0
0
0
0
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
1
2
3
5
6
1
3
1
2
1
6
0
0
1
0
1
3
5
3
0
0
0
0
1
−34
0
0
0
0
0
0
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
1
 x1
+
2
3
 x2
+
5
6
 x3
+
1
3
 x4
+
1
2
 x5
=
1
6
0
 x1
+ 0
 x2
+ 1
 x3
+ 0
 x4
+
1
3
 x5
=
5
3
0
 x1
+ 0
 x2
+ 0
 x3
+ 0
 x4
+ 1
 x5
= −34
0
 x1
+ 0
 x2
+ 0
 x3
+ 0
 x4
+ 0
 x5
= 0
Базисные переменные x1, x3, x5, свободные переменные x2, x4.
Выразив переменные x1, x3, x5 через остальные, получим:
x1=
1
6
− 2
3
· x2 − 5
6
· x3 − 1
3
· x4 − 1
2
· x5
x3=
5
3
− 1
3
· x5
x5= −34
где x2, x4− произвольные действительные числа.
Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.
x1=
19
3
− 2
3
· x2 − 1
3
· x4
x3= 13
x5= −34
где x2, x4− произвольные действительные числа.
Сделаем следующие обозачения:
x2=λ1,
x4=λ2.
Тогда
x1=
19
3
− 2
3
· λ1 − 1
3
· λ2
x3= 13
x5= −34
x2=λ1,
x4=λ2.
где λ1, λ2− произвольные действительные числа.