Решение начально-краевой задачи о свободных поперечных колебаниях прямоугольной мембраны

Постановка задачи для поперечного отклонения точек мембраны u(x,y,t) имеет вид
utt=a2Δu, 0<x<l1, 0<y<l2,
(1)
Граничные условия
ux​x=0=u​x=l1=0, uy​y=0=uy​y=l2=0,
(2)
Начальные условия
ux,y,0=0, utx,y,0=γ.
(3)
Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,y,t=vx,y⋅Tt.
Подставим в уравнение (1)
vx,y⋅T''t=a2Δvx,y∙Tt,
Разделим равенство на a2vx,y⋅Tt
T''ta2Tt=Δvx,yv(x,y)=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x, y.
В результате получим два дифференциальных уравнения
T''t=-a2λTt,
(4)
Δvx,y=-λvx,y.
(5)
Подставляя ux,y,t в виде vx,y⋅Tt в граничные условия (2), получим краевые условия для функции vx,y
vx​x=0=v​x=l1=0, vy​y=0=vy​y=l2=0.
(6)
Таким образом получили задачу на собственные значения для оператора Лапласа (5), (6).
Проведем дальнейшее разделение переменных, представим vx,y в виде
vx,y=Xx∙Yy.
Подставляем в уравнение (5), получим
Δvx,y≡vxx+vyy=X''x∙Yy+Xx∙Y''y=-λXx∙Yy.
Делим равенство на Xx∙Yy
X''xXx+Y''yYy=-λ,
X''xXx=-Y''yYy-λ=-μ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате опять переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных уравнения
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных уравнения
X''x+μXx=0,
(7)
Y''y+νYy=0, где ν=λ-μ.
(8)
Подставляя vx,y в виде Xx⋅Yy в граничные условия (6), получим
X'0⋅Yy=Xl1⋅Yy=0,
Xx⋅Y'0=Xx⋅Y'l2=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'0=Xl1=0, Y'0=Y'l2=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''x+μXx=0X'0=0, Xl1=0
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosμx+C2 sinμx,
X'x=-μC1sinμx+μC2 cosμx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X'0=μC2=0 Xl1=C1cosμl1+C2 sinμl1=0 ⟹ C2=0 C1cosμl1=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений μ задачи Штурма-Лиувилля
cosμl1=0,
μl1=π2+πm, m=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
μm=π(2m+1)2l12, m=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xmx=cosπ(2m+1)x2l1, m=0,1,2,…
Для функции Y(y) также получили задачу Штурма-Лиувилля
Y''y+νY(y)=0Y'0=0, Y'l2=0
При ν≠0 общее решение имеет вид
Yy=C3cosνy+C4 sinνy,
Y'y=-νC3sinνy+νC4 cosνy,
Неизвестные коэффициенты C3, C4 найдем из граничных условий
Y'0=νC4=0 ⇒ C4=0Y'l2=-νC3sinνl2+νC4 cosνl2=0 ⟹ C4=0-νC3sinνl2=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений ν задачи Штурма-Лиувилля
sinνl2=0
νl2=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
νn=πnl22, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Yny=cosπnyl2, n=1,2,…
При ν=0 уравнение (8) для Y0(y) примет вид
Y0''y=0
Откуда с учетом граничных условий найдем собственную функцию
Y0y=1