Разложить функцию fx=sinx в ряд Тейлора до 4 членов (x=0)

Многочлены Чебышева:
T0x=1; T1x=x.
Tn+1x=2xTnx-Tn-1x
Тогда
T2x=2x∙x-1=2x2-1;
T3x=2x2x2-1-x=4x3-3x;
T4x=2x4x3-3x-2x2-1=8x4-8x2+1;
T5x=2x8x4-8x2+1-8x4-8x2+1=16x5-20x3+5x.
Степени x через полиномы Чебышева:
x=T1x;
x2=T2x+12=T2x+T0x;
x3=T3x4+3x4=T3x4+3T1x4;
x4=T4x+8x2-18=T4x4+T2x+T0x-18=T4x4+T2x+78T0x;
x5=T5x+20x3-5x16=T5x16+54T3x4+3T1x4-5T1x16;
x5=T5x16+5T3x16+5T1x8.
Используем стандартное разложение для синуса
sinx=i=0∞-1nx2n+12n+1!.
Тогда, при разложении до 4 степени:
sinx=x-x33!+Ox5=x-x36+Ox5.
Погрешность не превышает x55!=x5120.
Практически не превысила 8.138∙10-3 . Максимальная погрешность на краях.
Ряд по полиномам Чебышева:
sinx=a0T0x+a2T2x+a3T3x
Погрешность a4T4x можно приблизительно оценить, подставив в ряд Тейлора выражения для полиномов Чебышева, включая последний отброшенный член ряда x5120:
sinx=x-x36+x5120-…=T1x-16T3x4+3T1x4+
+1120∙T5x16+5T3x16+5T1x8+…=169192T1x-5128T3x+T5x1920-..
Т.е. если
sinx≈169192T1x-5128T3x,
то погрешность не превышает T5x1920:
Поскольку по модулю многочлен Чебышева не превышает 1, то наибольшее значение погрешности равно 11920≈5.208∙10-4.
Таким образом, для ряда Тейлора погрешность возрастает при приближении к краям (-1;1)