Разложить в ряд Тейлора функцию fx=x∙ex в точке x = 0 (использовать ex) и найти радиус сходимости ряда

Воспользуемся известным разложением ex в точке x = 0:
ex=1+x+x22!+…+xnn!+…=n=0∞xnn!
Для заданной функции получим:
fx=x∙ex=x∙1+x+x22!+…+xnn!+…=x∙x+x2+x32!+…+xn+1n!+…
fx=n=0∞xn+1n!
Радиус сходимости найдем по формуле:
R=limn→∞anan+1
an=1n!;
Согласно формуле, находим
R=limn→∞anan+1=limn→∞1n!÷1n+1!=limn→∞n+1∙n!n!=∞.
Ответ: fx=n=0∞xn+1n!;R=∞.