Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами м; м, м и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН (рис. 1.а). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Рис. 1
Решение
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке.
Учитывая, что и направлены вниз, направим опорную реакцию вверх. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил .
Разбиваем длину стержня на три участка (рис. 1, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние силы и изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений (РОЗУ). Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Начнем с сечения 1 – 1. Отбросим верхнюю часть стержня (рис. 1, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растягиванию. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Переходим к сечению 2 – 2 (рис. 1, в). Внешние силы и растягивают рассматриваемую нами нижнюю часть стержня
. Внутренняя продольная сила должна уравновесить действие внешних сил и . Поэтому она направлена от сечения и равна:
кН.
Делаем сечение 3 – 3 (рис. 1, г). Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) растягивающую силу . Поэтому она направлена от сечения и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует растяжению. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН, кН
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 1, д)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
