Расставить пределы интегрирования в интеграле QUOTE Dfx ydxdy Dfx

Построим область D (рис. 4). Эта область ограничена прямыми:
1) x=4 – прямая, параллельная оси Oy и пересекающая ось Ox в x=4;
2) y=x2 – прямая, проходящая через начало координат и точку 1; 12;
3) y=x – прямая, проходящая через начало координат и точку (1; 1).
40189151332865D
D
205486040036841529002580640x=4
x=4
3429000504190y=x
y=x
45599351148080y=x2
0y=x2
Рис. 4
Расставим пределы интегрирования в QUOTE Dfx,ydxdy Dfx, ydxdy, в направлении оси Ox. Для этого проведем прямую параллельную оси Ox, слева на право, так чтобы эта прямая пересекла область D (Рис. 4а).
34385252245042G
00G
25958802002472F
00F
4643755802640B
B
3821748801370A
00A
279812722396450046548681020445004007802102997000346710010591801569085170053023907752268855355473022396450040189151332865D
D
205486040036841529002580640x=4
x=4
3429000504190y=x
y=x
45599351148080y=x2
0y=x2
Рис.4а
Из рисунка 4а видно, что область D является неправильной в направлении оси Ox . Разобьем область D на 2 части.
Верхняя часть (над прямой y=2).
В этом случае в двукратном интеграле внутреннее интегрирование производится по переменной x, а внешнее по переменной y. Точка “входа” (на рисунке 4а – это точка А) лежит на прямой y=x, а точка “выхода” (на рисунке 4а – это точка В) лежит на прямой x=4. Из уравнения прямой y=x выразим x, получим x=y. Значит, для внутреннего интеграла нижний предел интегрирования x=y, а верхний – x=4. Для нахождения пределов интегрирования внутреннего интеграла спроецируем верхнюю часть области D на ось Oy, получим отрезок 2; 4. Получили, что нижний предел интегрирования y=2, верхний – y=4.
Нижняя часть (под прямой y=2).
В этом случае в двукратном интеграле внутреннее интегрирование производится по переменной x, а внешнее по переменной y