Рассмотрим оператор А C0 1→C0 1 Axt=0txτdτ

А) Совокупность всевозможных векторов вида y=Ax, x∈C называется образом оператора А и обозначают Im(A).
Таким образом,
ImA≝y y=Ax, x∈C.
ImA=Axt=0txτdτ,
где 0≤t≤1, т.к. C0, 1 тогда
ImA=01xτdτ=τ2201=12.
б) По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом (теореме Барроу) функция yt=0txτdτ дифференцируема, причём y't=xt . Значит y∈C(1)0, 1. Кроме того, очевидно, что y0=0.
Обратно, если y∈C(1)0, 1 и y0=0, то по формуле Ньютона-Лейбница имеем
yt=0ty'τdτ.
По этому
RA=0ty'τdτ x∈C0,1=y∈C10, 1 y0=0.
Рассмотрим оператор дифференцирования Bτ=dτdt