Рассматривается линейная регрессионная модель потребления Джона Мейнарда Кейнса
(1)
где у — потребительские расходы,
x — доход потребителя,
a — предельная склонность к потреблению,
b — постоянные расходы,
— случайное отклонение от ожидаемых потребительских расходов. Более подробно с моделью Дж. М. Кейнса можно ознакомиться, например, в [1].
Модель наблюдений, соответствующая регрессионной модели (1), имеет следующий вид:
, ,
где N = 50,
– известные доходы потребителей, ,
– случайные потребительские расходы, ,
– независимые случайные величины, распределённые по гауссовскому закону , ,
a, b, – неизвестные параметры модели.
Результаты N наблюдений за зависимостью потребления от дохода для разных лиц представлены в таблице.
𝑘 , тыс руб. , тыс. руб.
1 44,7033 42,7421
2 69,3265 60,924
3 78,3562 73,2102
4 68,6199 64,553
5 70,3123 64,0099
6 87,8157 73,0483
7 25,897 28,5723
8 35,6966 39,9334
9 80,8339 72,4914
10 30,6575 41,5343
11 87,7681 80,0602
12 31,9343 24,0293
13 25,7406 25,726
14 82,2049 71,8317
15 53,6565 50,3316
16 71,6476 64,7043
17 68,0451 62,395
18 43,2466 45,5162
19 63,667 60,9766
20 63,6244 57,9286
21 26,7901 29,6076
22 50,8856 48,2237
23 44,2099 39,9339
24 21,3358 27,0583
25 67,108 58,9533
26 41,0893 39,4727
27 78,252 63,9177
28 62,6512 58,042
29 76,5191 64,9038
30 63,6994 51,6214
31 77,599 68,9041
32 31,7378 34,0275
33 55,2126 47,0213
34 50,9099 52,4305
35 58,6507 51,619
36 63,76 60,7063
37 48,6964 47,5895
38 88,6458 72,1529
39 57,9508 49,3703
40 25,3722 26,0892
41 53,2856 45,4643
42 33,4423 39,9977
43 49,9674 50,0413
44 17,7079 16,1198
45 44,7051 45,0881
46 68,3911 60,8258
47 21,9428 27,8957
48 75,4415 69,4387
49 62,7009 61,7704
50 44,5104 43,0824
Выполните следующие задания.
Используя метод наименьших квадратов, найдите точечные оценки параметров a, b, .
Найдите интервальные оценки параметров a, b, уровней доверия 0,8 0,9, 0,95, 0,99.
Найдите точечную оценку и интервальную оценку уровня доверия 0,95 потребительских расходов как функцию дохода. Постройте соответствующие графики. На той же координатной плоскости отметьте точки, соответствующие имеющимся наблюдениям.
Сделайте вывод о точности полученных результатов.
Решение
Используя метод наименьших квадратов, найдите точечные оценки параметров a, b, .
Для построения уравнения парной линейной регрессии запишем эмпирическое уравнение: .
Применим метод наименьших квадратов, построим функцию:
.
(N – количество наблюдений)
Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю частных производных данной функции. Неизвестными переменными являются параметры и . Найдем эти частные производные:
Преобразуем полученную систему уравнений:
Выразим из второго уравнения оценку коэффициента b:
.
Подставив полученную оценку в первое уравнение, получим формулу оценки коэффициента a: .
Все расчеты произведены в программе Excel и приведены в таблице:
i x y x-xср
y-yср
(x-xср)2 (x-xср)(y-yср)
1 44,7033 42,7421 -10,2352 -8,3757 104,7592 85,7264
2 69,3265 60,9240 14,3880 9,8062 207,0148 141,0924
3 78,3562 73,2102 23,4177 22,0924 548,3890 517,3545
4 68,6199 64,5530 13,6814 13,4352 187,1809 183,8131
5 70,3123 64,0099 15,3738 12,8921 236,3540 198,2014
6 87,8157 73,0483 32,8772 21,9305 1080,9108 721,0152
7 25,8970 28,5723 -29,0415 -22,5455 843,4083 654,7536
8 35,6966 39,9334 -19,2419 -11,1844 370,2504 215,2081
9 80,8339 72,4914 25,8954 21,3736 670,5722 553,4793
10 30,6575 41,5343 -24,2810 -9,5835 589,5666 232,6957
11 87,7681 80,0602 32,8296 28,9424 1077,7832 950,1692
12 31,9343 24,0293 -23,0042 -27,0885 529,1928 623,1480
13 25,7406 25,7260 -29,1979 -25,3918 852,5169 741,3856
14 82,2049 71,8317 27,2664 20,7139 743,4570 564,7950
15 53,6565 50,3316 -1,2820 -0,7862 1,6435 1,0078
16 71,6476 64,7043 16,7091 13,5865 279,1943 227,0191
17 68,0451 62,3950 13,1066 11,2772 171,7832 147,8065
18 43,2466 45,5162 -11,6919 -5,6016 136,7003 65,4927
19 63,6670 60,9766 8,7285 9,8588 76,1869 86,0530
20 63,6244 57,9286 8,6859 6,8108 75,4450 59,1584
21 26,7901 29,6076 -28,1484 -21,5102 792,3320 605,4762
22 50,8856 48,2237 -4,0529 -2,8941 16,4259 11,7293
23 44,2099 39,9339 -10,7286 -11,1839 115,1027 119,9870
24 21,3358 27,0583 -33,6027 -24,0595 1129,1409 808,4624
25 67,1080 58,9533 12,1695 7,8355 148,0969 95,3548
26 41,0893 39,4727 -13,8492 -11,6451 191,8001 161,2746
27 78,2520 63,9177 23,3135 12,7999 543,5197 298,4117
28 62,6512 58,0420 7,7127 6,9242 59,4859 53,4047
29 76,5191 64,9038 21,5806 13,7860 465,7226 297,5113
30 63,6994 51,6214 8,7609 0,5036 76,7535 4,4124
31 77,5990 68,9041 22,6605 17,7863 513,4986 403,0477
32 31,7378 34,0275 -23,2007 -17,0903 538,2721 396,5057
33 55,2126 47,0213 0,2741 -4,0965 0,0751 -1,1229
34 50,9099 52,4305 -4,0286 1,3127 16,2296 -5,2885
35 58,6507 51,6190 3,7122 0,5012 13,7805 1,8607
36 63,7600 60,7063 8,8215 9,5885 77,8190 84,5855
37 48,6964 47,5895 -6,2421 -3,5283 38,9637 22,0237
38 88,6458 72,1529 33,7073 21,0351 1136,1826 709,0382
39 57,9508 49,3703 3,0123 -1,7475 9,0740 -5,2639
40 25,3722 26,0892 -29,5663 -25,0286 874,1656 740,0015
41 53,2856 45,4643 -1,6529 -5,6535 2,7321 9,3445
42 33,4423 39,9977 -21,4962 -11,1201 462,0863 239,0388
43 49,9674 50,0413 -4,9711 -1,0765 24,7118 5,3511
44 17,7079 16,1198 -37,2306 -34,9980 1386,1170 1302,9945
45 44,7051 45,0881 -10,2334 -6,0297 104,7223 61,7038
46 68,3911 60,8258 13,4526 9,7080 180,9727 130,5986
47 21,9428 27,8957 -32,9957 -23,2221 1088,7157 766,2277
48 75,4415 69,4387 20,5030 18,3209 420,3733 375,6345
49 62,7009 61,7704 7,7624 10,6526 60,2550 82,6902
50 44,5104 43,0824 -10,4281 -8,0354 108,7451 83,7934
среднее 54,9385 51,1178
сумма 2746,9246 2555,8876 0,0000 0,0000 19378,1814 14828,1640
Подставим значения в формулы для коэффициентов уравнения – получим точечные оценки параметров a, b:
;
.
Линейное уравнение регрессии: .
Точечная оценка остаточной дисперсии вычисляется по формуле:
.
Вычислим необходимые данные
i y y-yср
ŷ y-ŷ ŷ-yср
1 42,7421 -8,3757 43,2858 -0,5437 -7,8320
2 60,9240 9,8062 62,1274 -1,2034 11,0097
3 73,2102 22,0924 69,0370 4,1732 17,9192
4 64,5530 13,4352 61,5868 2,9662 10,4690
5 64,0099 12,8921 62,8818 1,1281 11,7640
6 73,0483 21,9305 76,2754 -3,2271 25,1576
7 28,5723 -22,5455 28,8952 -0,3229 -22,2225
8 39,9334 -11,1844 36,3939 3,5395 -14,7239
9 72,4914 21,3736 70,9329 1,5585 19,8151
10 41,5343 -9,5835 32,5380 8,9963 -18,5798
11 80,0602 28,9424 76,2389 3,8213 25,1212
12 24,0293 -27,0885 33,5150 -9,4857 -17,6028
13 25,7260 -25,3918 28,7756 -3,0496 -22,3422
14 71,8317 20,7139 71,9820 -0,1503 20,8642
15 50,3316 -0,7862 50,1368 0,1948 -0,9810
16 64,7043 13,5865 63,9035 0,8008 12,7858
17 62,3950 11,2772 61,1469 1,2481 10,0292
18 45,5162 -5,6016 42,1711 3,3451 -8,9466
19 60,9766 9,8588 57,7968 3,1798 6,6790
20 57,9286 6,8108 57,7642 0,1644 6,6464
21 29,6076 -21,5102 29,5786 0,0290 -21,5391
22 48,2237 -2,8941 48,0165 0,2072 -3,1013
23 39,9339 -11,1839 42,9082 -2,9743 -8,2095
24 27,0583 -24,0595 25,4050 1,6533 -25,7127
25 58,9533 7,8355 60,4298 -1,4765 9,3121
26 39,4727 -11,6451 40,5204 -1,0477 -10,5974
27 63,9177 12,7999 68,9572 -5,0395 17,8395
28 58,0420 6,9242 57,0195 1,0225 5,9018
29 64,9038 13,7860 67,6312 -2,7274 16,5135
30 51,6214 0,5036 57,8216 -6,2002 6,7038
31 68,9041 17,7863 68,4575 0,4466 17,3398
32 34,0275 -17,0903 33,3646 0,6629 -17,7531
33 47,0213 -4,0965 51,3275 -4,3062 0,2097
34 52,4305 1,3127 48,0351 4,3954 -3,0827
35 51,6190 0,5012 53,9583 -2,3393 2,8406
36 60,7063 9,5885 57,8680 2,8383 6,7502
37 47,5895 -3,5283 46,3413 1,2482 -4,7764
38 72,1529 21,0351 76,9105 -4,7576 25,7928
39 49,3703 -1,7475 53,4228 -4,0525 2,3050
40 26,0892 -25,0286 28,4937 -2,4045 -22,6241
41 45,4643 -5,6535 49,8530 -4,3887 -1,2648
42 39,9977 -11,1201 34,6689 5,3288 -16,4489
43 50,0413 -1,0765 47,3139 2,7274 -3,8039
44 16,1198 -34,9980 22,6289 -6,5091 -28,4888
45 45,0881 -6,0297 43,2872 1,8009 -7,8306
46 60,8258 9,7080 61,4117 -0,5859 10,2939
47 27,8957 -23,2221 25,8695 2,0262 -25,2483
48 69,4387 18,3209 66,8066 2,6321 15,6889
49 61,7704 10,6526 57,0575 4,7129 5,9398
50 43,0824 -8,0354 43,1382 -0,0558 -7,9796
сумма квадратов 11939,5542
593,0587 11346,4955
RSS=i=1n(Yi-Yi)2=593,0587 – сумма квадратов остатков (Residual Sum of Squares);
TSS=i=1n(Yi-Y)2=11939,5542 – общая сумма квадратов (Total Sum of Squares);
ESS=i=1n(Yi-Y)2=11346,4955 – объясненная сумма квадратов (Explained Sum of Squares).
Выполняется соотношение: TSS=RSS+ESS.
Дисперсия:
.
Правильность расчетов проверим в Excel в режиме Регрессия (последняя таблица столбец – Коэффициенты):
Построим корреляционное поле и полученное линейное уравнение регрессии:
Найдите интервальные оценки параметров a, b, уровней доверия 0,8 0,9, 0,95, 0,99.
-ный доверительный интервал:
, – точечная оценка коэффициента регрессии.
– стандартная ошибка коэффициента регрессии.
Найдем уровни значимости и соответствующие значения по односторонней таблице распределения Стьюдента для N=50:
Для 0,8: , тогда .
Для 0,9: , тогда .
Для 0,95: , тогда .
Для 0,99: , тогда .
95%-ный доверительный интервал:
для a: или (0,7144; 0,816).
для b: или (6,116; 12,0418).
Аналогично находим остальные интервальные оценки:
Уровень доверия Доверительный интервал
a b
0,8 0,7324 0,7980 7,1640 10,9937
0,9 0,7228 0,8075 6,6073 11,5504
0,95 0,7144 0,816 6,116 12,0418
0,99 0,6975 0,8329 5,1264 13,0314
Доверительный интервал для дисперсии:
определяется по таблице распределения при N–1 и .
определяется по таблице распределения при N–1 и .
Определим 95%-ный доверительный интервал для дисперсии:
или (8,6214; 19,186).
Аналогично находим остальные интервальные оценки для дисперсии:
Уровень доверия Доверительный интервал
0,8 62,038 36,818 9,7588 16,4433
0,9 66,339 33,930 9,1261 17,8429
0,95 70,222 31,555 8,6214 19,1860
0,99 78,231 27,249 7,7388 22,2176
Найдите точечную оценку и интервальную оценку уровня доверия 0,95 потребительских расходов как функцию дохода
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
