Рассчитайте параметры уравнений линейной

1. Построим корреляционное поле: изобразим на графике точки – каждому значению факторного признака x отметим соответствующее значение результативного признака y.
По данному корреляционному полю можно предположить, что тесной линейной связи между признаками нет. Можно предположить наличие нелинейной зависимости или не очень тесной линейной.
2. Рассчитаем параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парных регрессий.
1) Линейная регрессия.
Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+bx используем метод наименьших квадратов МНК. Строим расчетную таблицу 2.
Таблица 2

1 126 9479 1194354 15876 89851441 2148,73 7330,27 77,332 53732925,87
2 65 4258 276770 4225 18130564 3065,20 1192,80 28,013 1422766,80
3 203 452 91756 41209 204304 991,86 -539,86 119,438 291450,25
4 162 488 79056 26244 238144 1607,85 -1119,85 229,478 1254072,71
5 145 421 61045 21025 177241 1863,27 -1442,27 342,581 2080129,56
6 193 764 147452 37249 583696 1142,10 -378,10 49,490 142962,19
7 214 967 206938 45796 935089 826,60 140,40 14,520 19713,55
8 163 1335 217605 26569 1782225 1592,83 -257,83 19,313 66476,14
9 299 1136 339664 89401 1290496 -450,46 1586,46 139,653 2516863,89
10 212 531 112572 44944 281961 856,64 -325,64 61,326 106043,66
11 143 1120 160160 20449 1254400 1893,31 -773,31 69,046 598014,30
12 220 294 64680 48400 86436 736,45 -442,45 150,493 195761,81
13 123 405 49815 15129 164025 2193,80 -1788,80 441,679 3199798,34
14 186 176 32736 34596 30976 1247,27 -1071,27 608,678 1147625,57
15 92 549 50508 8464 301401 2659,55 -2110,55 384,435 4454414,89
Итого 2546 22375 3085111 479576 115312399 22375 0 2735,5 71229019,5
Среднее значение 169,7 1491,7 205674,1 31971,7 7687493,3 – – 182,4 5479155,3
56,23 2337,18 – – – – – – 2340,76
3162,3 5462423,8 – – – – – –
Оценим параметры линейной модели. Модель будем рассматривать в виде :
, где
;
1491,7 – (-15,02) · 169,7 = 4041,78.
Уравнение линейной парной регрессии: y = 4041,78 15,02 x .
С увеличением численности работников на 1 чел. стоимость валовой продукции уменьшается в среднем на 15,02 тыс. руб.
2) Степенная регрессия
Построению степенной модели y = axb предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризацию производим путем логарифмирования обеих частей уравнения.
ln y = ln a + b ln x
Вводим замену Y = ln y, C = ln a, X = ln x, тогда получим линейное уравнение
Y = C + b Х.
Для расчета параметров построим таблицу 3.
Таблица 3
№ X=lnx Y= lny
1 4,836 9,157 44,285 23,390 83,848 1019,93 8459,07 89,240 71555887,55 63797493,8
2 4,174 8,357 34,883 17,426 69,832 2093,55 2164,45 50,833 4684844,61 7652600,1
3 5,313 6,114 32,483 28,230 37,377 607,48 -155,48 34,399 24175,02 1080906,8
4 5,088 6,190 31,494 25,884 38,320 776,23 -288,23 59,063 83073,68 1007346,8
5 4,977 6,043 30,073 24,768 36,513 875,58 -454,58 107,977 206646,81 1146327,1
6 5,263 6,639 34,937 27,696 44,071 641,76 122,24 16,001 14943,57 529498,8
7 5,366 6,874 36,887 28,794 47,255 573,63 393,37 40,679 154736,86 275275,1
8 5,094 7,197 36,658 25,946 51,792 771,05 563,95 42,243 318036,74 24544,4
9 5,700 7,035 40,104 32,495 49,495 398,86 737,14 64,889 543380,00 126498,8
10 5,357 6,275 33,611 28,693 39,373 579,52 -48,52 9,137 2353,79 922880,4
11 4,963 7,021 34,845 24,630 49,296 888,90 231,10 20,634 53408,57 138136,1
12 5,394 5,684 30,655 29,091 32,303 556,66 -262,66 89,339 68988,60 1434405,4
13 4,812 6,004 28,892 23,157 36,047 1046,98 -641,98 158,515 412143,88 1180844,4
14 5,226 5,170 27,020 27,308 26,734 668,04 -492,04 279,568 242102,25 1730978,8
15 4,522 6,308 28,524 20,447 39,792 1435,37 -886,37 161,451 785645,39 888620,4
76,084 100,067 505,350 387,954 682,047 12933,53 9441,47 1223,97 79150367,31 81936357,3
среднее 5,072 6,671 33,690 25,864 45,470 – – 81,6 5276691,15  
0,369 0,983 – – – – – – 2297,10
0,136 0,966 – – – – – –
Получим линейное уравнение: Y = 12,182 1,086 X.
Для того, чтобы вернуться к степенному уравнению проводим потенцирование:
195235,4, = 195235,4 x-1,086 - уравнение степенной регрессии.
3) экспоненциальная (показательная) регрессия
Экспоненциальная регрессия имеет уравнение , его можно записать в виде показательной функции , где .
Сводим модель к линейной путем логарифмирования уравнения : .
Обозначим .
Строим модель аналогично линейной, лишь вместо значений у берем значение . Параметр а при этом определяется как , а параметр b определяется как .
Таблица 4
№п/п -234957175500

1 126 9,157 1153,8 15876 83,848 1015,64 8463,36 89,285 71628539,6
2 65 8,357 543,2 4225 69,832 1443,73 2814,27 66,094 7920095,7
3 203 6,114 1241,1 41209 37,377 651,51 -199,51 44,140 39805,6
4 162 6,190 1002,8 26244 38,320 825,26 -337,26 69,111 113744,3
5 145 6,043 876,2 21025 36,513 910,25 -489,25 116,211 239364,6
6 193 6,639 1281,2 37249 44,071 690,18 73,82 9,662 5449,0
7 214 6,874 1471,1 45796 47,255 611,47 355,53 36,766 126398,4
8 163 7,197 1173,1 26569 51,792 820,52 514,48 38,538 264694,5
9 299 7,035 2103,5 89401 49,495 374,57 761,43 67,027 579778,1
10 212 6,275 1330,2 44944 39,373 618,57 -87,57 16,491 7667,9
11 143 7,021 1004,0 20449 49,296 920,81 199,19 17,785 39678,0
12 220 5,684 1250,4 48400 32,303 590,68 -296,68 100,912 88020,3
13 123 6,004 738,5 15129 36,047 1033,36 -628,36 155,150 394831,7
14 186 5,170 961,7 34596 26,734 718,61 -542,61 308,301 294424,7
15 92 6,308 580,3 8464 39,792 1235,60 -686,60 125,063 471415,0
сум  2546 100,067 16711,1 479576 682,047 12460,75   1260,54 82213907,4
ср 169,7 6,671 1114,1 31971,733 45,470 – – 84,0 5480927,2
56,235 0,983 – – – – – – 2341,14
3162,329 0,966 – – – – – –

Линейная функция имеет вид: .
2100,16, показательная функция:
4) полулогарифмическая регрессия y = a + b ln x
Вводим замену X = ln x, тогда получим линейное уравнение
y = a + b Х.
Для расчета параметров построим таблицу 5.
Таблица 5
№ X=lnx y
1 4,836 9479 45843,1 23,390 89851441,0 2078,88 7400,12 78,069 54761716,3
2 4,174 4258 17774,5 17,426 18130564,0 3726,00 532,00 12,494 283028,6
3 5,313 452 2401,6 28,230 204304,0 892,07 -440,07 97,360 193659,8
4 5,088 488 2482,7 25,884 238144,0 1453,49 -965,49 197,847 932176,9
5 4,977 421 2095,2 24,768 177241,0 1729,37 -1308,37 310,777 1711838,4
6 5,263 764 4020,7 27,696 583696,0 1017,78 -253,78 33,217 64402,0
7 5,366 967 5188,9 28,794 935089,0 760,75 206,25 21,329 42538,7
8 5,094 1335 6800,2 25,946 1782225,0 1438,18 -103,18 7,729 10646,0
9 5,700 1136 6475,7 32,495 1290496,0 -71,57 1207,57 106,300 1458213,3
10 5,357 531 2844,3 28,693 281961,0 784,12 -253,12 47,668 64068,2
11 4,963 1120 5558,4 24,630 1254400,0 1763,94 -643,94 57,494 414652,6
12 5,394 294 1585,7 29,091 86436,0 691,94 -397,94 135,354 158356,7
13 4,812 405 1948,9 23,157 164025,0 2138,85 -1733,85 428,111 3006236,9
14 5,226 176 919,7 27,308 30976,0 1109,71 -933,71 530,516 871812,0
15 4,522 549 2482,5 20,447 301401,0 2861,49 -2312,49 421,219 5347630,4
76,084 22375 108422,2 387,954 115312399,0 22375 0,00 2485,48 69320976,9
средн 5,072 1491,7 7228,1 25,9 7687493,3 – – 165,7 4621398,5
0,369 2337,18 – – – – – – 2149,74
0,136 5462423,82 – – – – – –
Получим линейное уравнение: у = 14113,88 2488,48 X.
Логарифмическое уравнение: = 14113,88 2488,48 ln x .
5) Обратная регрессия.
Обратная функция:
Линеаризация: , обозначим
Тогда уравнение примет вид:
Для расчета параметров построим таблицу.
Таблица 6
№ х
1 126 0,0001 0,013 15876 0,00000 622,416 8856,584 93,434 78439080,1
2 65 0,0002 0,015 4225 0,00000 753,186 3504,814 82,311 12283718,6
3 203 0,0022 0,449 41209 0,00000 510,527 -58,527 12,948 3425,4
4 162 0,0020 0,332 26244 0,00000 564,567 -76,567 15,690 5862,5
5 145 0,0024 0,344 21025 0,00001 590,483 -169,483 40,257 28724,5
6 193 0,0013 0,253 37249 0,00000 522,731 241,269 31,580 58210,8
7 214 0,0010 0,221 45796 0,00000 497,745 469,255 48,527 220200,5
8 163 0,0007 0,122 26569 0,00000 563,113 771,887 57,819 595809,1
9 299 0,0009 0,263 89401 0,00000 417,055 718,945 63,287 516881,2
10 212 0,0019 0,399 44944 0,00000 500,021 30,979 5,834 959,7
11 143 0,0009 0,128 20449 0,00000 593,689 526,311 46,992 277002,9
12 220 0,0034 0,748 48400 0,00001 491,039 -197,039 67,020 38824,2
13 123 0,0025 0,304 15129 0,00001 627,776 -222,776 55,007 49629,4
14 186 0,0057 1,057 34596 0,00003 531,627 -355,627 202,061 126470,3
15 92 0,0018 0,168 8464 0,00000 689,103 -140,103 25,520 19628,8
2546 0,0271 4,817 479576 0,00008 8475,079   848,29 92664428,0
Сред. 169,7 0,0018 0,321 31971,733 0,00001 – – 56,6 6177628,5
56,235 0,001 – – – – – – 2485,48
3162,33 0,000002 – – – – – –
- уравнение обратной регрессии.
6) Гиперболическая регрессия.
Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид , оно линеаризуется при замене