Рассчитайте параметры уравнений линейной

1.Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
1. Для расчета параметров парной линейной регрессии методом наименьших квадратов построим вспомогательную таблицу №1.
Таблица 1
Промежуточные результаты расчетов для линейной регрессии
Номер наблюдения х у у
(y-ŷх)2 (y-ycp)2
1 33 1099 1089 1207801 36267 601,49 247514,23 6003823,07
2 133 10614 17689 112656996 1411662 6396,59 17786522,33 49910409,97
3 48 1301 2304 1692601 62448 1470,76 28817,48 5054717,99
4 41 1637 1681 2679769 67117 1065,10 327069,55 3656776,55
5 46 1128 2116 1272384 51888 1354,86 51463,24 5862548,41
6 14 786 196 617796 11004 -499,58 1652708,75 7635661,09
7 142 2409 20164 5803281 342078 6918,15 20332451,98 1300215,67
8 142 8737 20164 76335169 1240654 6918,15 3308207,96 26912542,55
9 95 1904 9025 3625216 180880 4194,45 5246182,15 2706913,37
10 58 1054 3364 1110916 61132 2050,27 992548,37 6226372,37
11 83 2726 6889 7431076 226258 3499,04 597594,64 677773,49
12 101 4970 10201 24700900 501970 4542,16 183046,53 2018473,73
13 140 7231 19600 52287361 1012340 6802,25 183826,56 13555135,79
14 101 6592 10201 43454464 665792 4542,16 4201841,44 9258205,85
15 81 1051 6561 1104601 85131 3383,14 5438879,03 6241352,99
Сумма 1258 53239 131244 335980331 5956621 53239,00 60578674,22 147020922,93
Среднее значение 83,87 3549,27 8749,6 22398688,7 397108,07 3549,27 4038578,28 9801394,86
Параметры уравнения парной линейной регрессии у = а+ bх рассчитаем по формулам:
b=yx-yxx2-x2=397108.07-83.87*3549.278749.6-83.872=57.95
a=y-bx=3549.27-83.87*57.95=-1310.89
Уравнение линейной регрессии будет иметь вид: у = -1310.89+57.95x
Данное уравнение показывает, что с увеличением среднегодовой численности работников на 1 чел. стоимость валовой продукции повысится в среднем на 57,95 тыс.руб.
2. Для расчета параметров степенной зависимости линеаризуем исходное уравнение у = axb:
lny = lna + blnx
Обозначив lny как У, lna как А, lnx как Х, перейдем к линейной зависимости: У = А + bХ
Построим вспомогательную таблицу №2
Таблица 2
Промежуточные результаты расчетов для степенной регрессии
Номер наблюдения Х У Х2
У2
ХУ у
(y-ŷх)2
1 3,497 7,002 12,226 49,030 24,483 1090,54 71,58
2 4,890 9,270 23,916 85,932 45,333 4699,72 34978743,89
3 3,871 7,171 14,986 51,422 27,760 1615,06 98635,49
4 3,714 7,401 13,791 54,769 27,483 1369,12 71758,89
5 3,829 7,028 14,658 49,396 26,908 1544,61 173560,56
6 2,639 6,667 6,965 44,448 17,594 443,98 116980,98
7 4,956 7,787 24,560 60,637 38,591 5033,56 6888304,57
8 4,956 9,075 24,560 82,361 44,976 5033,56 13715482,83
9 4,554 7,552 20,738 57,028 34,390 3303,09 1957460,16
10 4,060 6,960 16,487 48,446 28,262 1969,36 837892,04
11 4,419 7,911 19,526 62,577 34,956 2867,19 19935,10
12 4,615 8,511 21,299 72,440 39,280 3522,06 2096528,85
13 4,942 8,886 24,420 78,963 43,912 4959,28 5160707,99
14 4,615 8,794 21,299 77,328 40,584 3522,06 9424528,65
15 4,394 6,957 19,311 48,407 30,574 2794,82 3040924,25
Сумма 63,950 116,972 278,742 923,185 505,086 43768,01 78581515,83
Среднее значение 4,263 7,798 18,583 61,546 33,672 2917,87 5238767,72
Параметры преобразованного уравнения степенной регрессии У=А +вХ рассчитаем по формулам:
b=УХ-УХХ2-Х2=33,672-4,263*7,79818,583-4,2632=1,05
a=У-bХ=37,798-4,263*1,05=3,33
Преобразованное уравнение регрессии будет иметь вид: У= 3,33+1,05x
а = еА = 2,7183,33= 27,93
Уравнение степенной зависимости: у =27,93х1,05
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата y.
3. Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии.
Построению экспоненциальной модели y aebx предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lny = lna + bx
У = C + bХ, где У=lny, C=lna
Для расчетов используем данные табл. 3
Таблица 3
Промежуточные результаты расчетов для экспоненциальной регрессии
Номер наблюдения Х У Х2
У2
ХУ у
(y-ŷх)2 (y-ycp)2
1 33 7,002 1089 49,030 231,071 1009,62 7988,26 33
2 133 9,270 17689 85,932 1232,901 5704,07 24107447,38 133
3 48 7,171 2304 51,422 344,203 1309,07 65,13 48
4 41 7,401 1681 54,769 303,425 1159,63 227877,57 41
5 46 7,028 2116 49,396 323,297 1264,51 18635,16 46
6 14 6,667 196 44,448 93,337 726,56 3532,54 14
7 142 7,787 20164 60,637 1105,749 6666,02 18122251,79 142
8 142 9,075 20164 82,361 1288,696 6666,02 4288942,35 142
9 95 7,552 9025 57,028 717,413 2954,03 1102563,44 95
10 58 6,960 3364 48,446 403,700 1556,56 252565,39 58
11 83 7,911 6889 62,577 656,579 2399,78 106417,84 83
12 101 8,511 10201 72,440 859,629 3277,45 2864715,78 101
13 140 8,886 19600 78,963 1244,059 6439,12 627077,81 140
14 101 8,794 10201 77,328 888,155 3277,45 10986222,67 101
15 81 6,957 6561 48,407 563,557 2318,10 1605531,76 81
Сумма 1258 116,972 131244 923,185 10255,771 46728,01 64321834,87 1258
Среднее значение 83,867 7,798 8749,600 61,546 683,718 3115,20 4288122,32 83,867
Рассчитаем С и b:
b=УХ-УХХ2-Х2=683,718-83,867*7,7988749,60-83,8672=0,02
С=У-bХ=7,798-83,867*0,02=6,35
Получим линейное уравнение: у=6,35+0,02х. Выполнив его потенцирование, получим: у=570,15е0,02.
Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение у=5 у=6,35+0,02х значения x.
4 . Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели y=a+blnx предшествует процедура линеаризации переменных.
В примере линеаризация производится путем замены y=a+blnx, где Х=lnx
Для расчетов используем данные табл. 4
Таблица 4
Промежуточные результаты расчетов для полулогарифмической регрессии
Номер наблюдения Х У Х2
У2
ХУ у
(y-ŷх)2
1 3,497 1099 12,226 1207801 3842,662 1005,84 8679,13
2 4,890 10614 23,916 112656996 51906,166 5628,78 24852433,82
3 3,871 1301 14,986 1692601 5036,433 2248,58 897908,13
4 3,714 1637 13,791 2679769 6079,117 1725,77 7880,79
5 3,829 1128 14,658 1272384 4318,707 2107,42 959269,61
6 2,639 786 6,965 617796 2074,299 -1838,06 6885682,54
7 4,956 2409 24,560 5803281 11938,587 5845,95 11812614,63
8 4,956 8737 24,560 76335169 43299,061 5845,95 8358179,08
9 4,554 1904 20,738 3625216 8670,582 4512,80 6805860,26
10 4,060 1054 16,487 1110916 4279,707 2876,24 3320548,35
11 4,419 2726 19,526 7431076 12045,759 4064,93 1792735,93
12 4,615 4970 21,299 24700900 22937,149 4715,93 64551,32
13 4,942 7231 24,420 52287361 35733,016 5798,90 2050903,50
14 4,615 6592 21,299 43454464 30422,874 4715,93 3519636,80
15 4,394 1051 19,311 1104601 4618,566 3984,03 8602676,73
Сумма 63,950 53239 278,742 335980331 247202,686 53239.00 79939560,64
Среднее значение 4,263 3549,267 18,583 22398688,733 16480,179 3549,27 5329304,04
Рассчитаем С и b:
b=УХ-УХХ2-Х2=16480,179-4,263*3549,26718,583-4,2632=3316,69
а=У-bХ=3549,267-3316,69*4,263=-10590,99
Получим линейное уравнение: у= - 0590,99+3316,69ln x
5. Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель у=1a+bx к линейному виду, заменив У=1у, тогда а=Y-bx.
Для расчетов используем данные табл.5
Таблица 5
Промежуточные результаты расчетов для обратной регрессии
Номер наблюдения x z x2 z2 xz
у
(y-ŷх)2 (y-ycp)2
1 33 0,00091 1089 0,00000083 0,030 1061,10 6003823,07 1436,30
2 133 0,00009 17689 0,00000001 0,013 5411,82 49910409,97 27062722,77
3 48 0,00077 2304 0,00000059 0,037 1206,61 5054717,99 8910,38
4 41 0,00061 1681 0,00000037 0,025 1134,04 3656776,55 252972,53
5 46 0,00089 2116 0,00000079 0,041 1184,94 5862548,41 3242,22
6 14 0,00127 196 0,00000162 0,018 920,50 7635661,09 18089,88
7 142 0,00042 20164 0,00000017 0,059 8576,80 1300215,67 38041731,90
8 142 0,00011 20164 0,00000001 0,016 8576,80 26912542,55 25664,69
9 95 0,00053 9025 0,00000028 0,050 2115,58 2706913,37 44768,08
10 58 0,00095 3364 0,00000090 0,055 1328,01 6226372,37 75080,01
11 83 0,00037 6889 0,00000013 0,030 1774,31 677773,49 905710,96
12 101 0,00020 10201 0,00000004 0,020 2340,69 2018473,73 6913269,67
13 140 0,00014 19600 0,00000002 0,019 7590,34 13555135,79 129127,49
14 101 0,00015 10201 0,00000002 0,015 2340,69 9258205,85 18073634,44
15 81 0,00095 6561 0,00000091 0,077 1727,86 6241352,99 458135,36
Сумма 1258 0,00836 131244 0,00000669 0,506 47290,08 147020922,93 92014496,68
Среднее значение 83,867 0,00056 8749,600 0,0000004 0,034 3152,67 9801394,86 6134299,78
Рассчитаем С и b:
b=xz-zxx2-x2=0.034-83.867*0.000568749.6-83.8672=-0.000008
а=z-bx=0.00056+0.000008*86.867=0.001192
Получим линейное уравнение: у=0.001192-0.000008х. Выполнив его потенцирование, получим у=10.001192-0.000008x
Для расчета теоретических значений y подставим в у=0.001192-0.000008х значения x.
6.Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы y= a +b/x К линейному виду, заменив 1/x X, тогда а=y-bX.
Для расчетов используем данные табл.6
Таблица 6
Промежуточные результаты расчетов для равносторонней гиперболы
Номер наблюдения Х У Х2
У2
ХУ у
(y-ŷх)2
1 0,030 1099 0,001 1207801 33,303 2355,47 1578729,05
2 0,008 10614 0,000 112656996 79,805 4559,17 36661019,81
3 0,021 1301 0,000 1692601 27,104 3271,38 3882412,37
4 0,024 1637 0,001 2679769 39,927 2927,36 1665027,56
5 0,022 1128 0,000 1272384 24,522 3183,78 4226211,38
6 0,071 786 0,005 617796 56,143 -1622,19 5799364,24
7 0,007 2409 0,000 5803281 16,965 4605,26 4823544,20
8 0,007 8737 0,000 76335169 61,528 4605,26 17071301,36
9 0,011 1904 0,000 3625216 20,042 4268,28 5589812,39
10 0,017 1054 0,000 1110916 18,172 3618,80 6578186,50
11 0,012 2726 0,000 7431076 32,843 4121,08 1946255,14
12 0,010 4970 0,000 24700900 49,208 4328,76 411188,87
13 0,007 7231 0,000 52287361 51,650 4595,53 6945720,67
14 0,010 6592 0,000 43454464 65,267 4328,76 5122255,75
15 0,012 1051 0,000 1104601 12,975 4092,31 9249564,21
Сумма 0,269 53239 0,009 335980331 589,455 53239,00 111550593,51
Среднее значение 0,018 3549.267 0,001 22398688,733 39,297 3549,27 7436706,23
Рассчитаем С и b:
b=УХ-УХХ2-Х2=39.297-0.018*2549.26770.001-0.0182=-96719.99
а=У-bХ=2549.267-0.018*-96719.99=5286.38
Получим линейное уравнение: у= 5286.38-96719.99x. Получим уравнение регрессии: y=5286.38-96719.99/x.
2. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации:
Линейная модель. Коэффициент корреляции для линейной регрессии равен (воспользуемся таблицей №1):
rxy=yx-yxσxσy=yx-yx(x2-x2)(y2-y2)=397108.067-83.87*3549.27(8749.6-83.872)(22398688.7-3549.272)=0.77
Таким образом, можно в данном случае говорить о сильной прямой линейной зависимости между среднегодовой численностью работников и стоимостью валовой продукции, что говорит о прямой сильной связи фактора и результата