Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов

А) Рассчитаем параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов:
На первом этапе включим в модель все факторы. В качестве программного средства реализации анализа воспользуемся пакетом прикладных программ Microsoft Excel, функцией «Анализ данных», инструмент «Регрессия». Применение инструмента «Регрессия»
(Анализ данных EXCEL)
Для проведения регрессионного анализа необходимо выполнить следующие действия:
Выбрать команду «Сервис»→ «Анализ данных».
В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать инструмент «Регрессия», а затем щёлкнуть по кнопке ОК.
В диалоговом окне «Регрессия» в поле «Входной интервал » ввести адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле «Входной интервал Х» ввести адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных.
Если введены и заголовки столбцов, то следует установить флажок «Метки в первой строке».
Выбрать параметры вывода. В данном случае «Новая рабочая книга».
ОК.
Результаты представлены в таблице 1.
Таблица 1. Результат «Регрессии»
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,893137
R-квадрат 0,797693
Нормированный R-квадрат 0,757232
Стандартная ошибка 0,603229
Наблюдения 25
Дисперсионный анализ
  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 4 28,69589 7,173972 19,71491 1,03E-06
Остаток 20 7,277712 0,363886
Итого 24 35,9736      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95,0%
Y-пересечение -1,60046 0,778294 -2,05637 0,053031 -3,22395 0,023034
X1 0,062696 0,017945 3,493772 0,002288 0,025263 0,100128
X2 0,001952 0,002166 0,901104 0,378257 -0,00257 0,006469
X3 0,002443 0,015331 0,159343 0,874997 -0,02954 0,034422
X4 0,03479 0,024301 1,431619 0,167696 -0,0159 0,085482
Уравнение зависимости чистого дохода от оборота капитала, уплаченного налога на прибыль, численности сотрудников и рыночной капитализации компании можно записать в следующем виде:
ŷ= – 1 ,60046 + 0,062696∙x1 +0,001952∙х2+ 0,002443∙x3 +0,03479∙х4
В этом уравнении величина, равная 0,062696 (коэффициент при х1), показывает, что при увеличении оборота капитала на 1 млрд. руб. при неизменных значениях уплаченного налога на прибыль, численности сотрудников и рыночной капитализации компании, чистый доход увеличится в среднем на 0,062 млрд. руб., а если на 1 млн. руб. увеличится уплаченный налог на прибыль, при тех же значениях оборота капитала, численности сотрудников и рыночной капитализации компании, чистый доход увеличится на 0,00195 млрд. руб., увеличении численности сотрудников на 1 тыс. чел. при неизменных значениях оборота капитала, уплаченного налога на прибыль и рыночной капитализации компании, чистый доход увеличится в среднем на 0,0024 млрд. руб., а если на 1 млн. руб. увеличится рыночная капитализация компании, при тех же значениях оборот капитала, численность сотрудников и уплаченного налога на прибыль, чистый доход увеличится на 0,035 млрд. руб.
б) Выполним сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности:
Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной колеблемости факторов, используем коэффициенты эластичности:

Используя математические и статистические функции, найдем средние значения переменных и средние квадратические отклонения.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент:
Таким образом, при увеличении только оборота капитала на 1%, чистый доход увеличится в среднем на 1,19%, а при увеличении только уплаченного налога на прибыль на 1% чистый доход увеличится в среднем на 0,17%, при увеличении только численности сотрудников на 1%, чистый доход увеличится в среднем на 0,06%, а при увеличении только рыночной капитализация компании на 1% чистый доход увеличится в среднем на 0,31%т.е., т.е. самое сильное влияние на чистый доход имеет фактор оборота капитала , далее следуют факторы по мере уменьшения силы влияния: рыночная капитализация компании, уплаченный налог на прибыль и численность сотрудников.
в) Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи проверим с помощью F-критерия:
Для оценки качества модели множественной регрессии вычисляют коэффициент детерминации R и коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R. Чем ближе к 1 значение этих характеристик, тем выше качество модели.
Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти в таблице Регрессионная статистика (см. таб.1) или вычислить по формулам:
а)коэффициент детерминации:
R2 = 0,798
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 79,8% вариации чистого дохода объясняется учтенными в модели факторами: оборот капитала, уплаченный налог на прибыль, численность сотрудников и рыночная капитализация компании.
б)коэффициент множественной корреляции:
R = 0,893.
Коэффициент множественной корреляции показывает высокую тесноту связи зависимой переменной Y с четырьмя включенными в модель объясняющими факторами.
Оценку значимости коэффициентов полученной модели, используя результаты отчета Excel, можно осуществить тремя способами.
Коэффициент уравнения регрессии признается значимым в том случае, если:
наблюдаемое значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента больше, чем критическое (табличное) значение статистики Стьюдента (для заданного уровня значимости, например, α = 0,05 и числа степеней свободы df = n - m - 1, где n - число наблюдений, а m - число факторов в модели);
P-значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента меньше, чем уровень значимости, например, α= 0,05;
доверительный интервал для этого коэффициента, вычисленный с некоторой доверительной вероятностью (например, 95%), не содержит ноль внутри себя, то есть если нижняя 95% и верхняя 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки.
Оценка статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии , приведены в таблице № 1 протокола EXCEL.
tрасчb1‌= 3,49
tрасчb2‌ ‌= 0,90
tрасчb3‌= 0,15
tрасчb4‌ ‌= 1,43
Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.
Табличное значение t-критерия Стьюдента при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы (25 – 4 – 1) составляет 2,09 .
Так как для х1 |tрасчb1|= 3,49 > t табл=2,09, то коэффициент с вероятность 95% существенно значим, так как для х2 |tрасчb2 |‌= 0,90< t табл=2,09, то коэффициент с вероятность 95% существенно не значим, для коэффициента х3 |tрасчb3‌|= 0,15< t табл=2,09, то коэффициент с вероятность 95% существенно не значим, для коэффициента х4 |tрасчb4‌|= 1,43< t табл=2,09, то коэффициент с вероятность 95% существенно не значим.
Значимость коэффициентов а1, а2, а3 и а4 проверим по первому и второму способам, используя данные таб.1:
Р-значение (а1) = 0,00 < 0,01 < 0,05.
Р-значение (а2) = 0,38 > 0,01 > 0,05.
Р-значение (а3) = 0,87 > 0,01 > 0,05.
Р-значение (а4) = 0,17 > 0,01 > 0,05.
Следовательно, коэффициент а1 значим при 1%-ном уровне, и тем более при 5%-ном уровне значимости.
Следовательно, коэффициенты а2 не значим при 1%-ном уровне и при 5%-ном уровне значимости.
Следовательно, коэффициенты а3 не значим при 1%-ном уровне и при 5%-ном уровне значимости.
Следовательно, коэффициенты а3 не значим при 1%-ном уровне и при 5%-ном уровне значимости.
Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе F- критерия Фишера:
Fфакт=19,715
Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице Дисперсионный анализ протокола Excel (таб.1).
Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней свободы, равном k1=m = 4 и k2 = n - m - 1= 25 - 4 - 1 = 20 составляет 2,866. Для этого можно воспользоваться статистической функцией FРАСПОБР.
Поскольку Fфакт > Fтабл, то уравнение регрессии следует признать значимым, то есть его можно использовать для анализа и прогнозирования.
г) Оценим качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации:
Точность модели оценим с помощью средней ошибки аппроксимации:
Для ее расчета столбец остатков возьмем по абсолютной величине (математическая функция ABS) и разделим каждое значение на соответствующий y. Просуммируем полученные значения (4,127479), разделим на 25 и умножим на 100% (табл.2)
Таблица 2.
Остатки │y-ŷ│
│(y-ŷ)/y│
-1,300980073 1,300980073 1,182709157
-0,018513583 0,018513583 0,010890343
-0,08642442 0,08642442 0,1440407
0,194878757 0,194878757 0,04330639
-0,006387869 0,006387869 0,002661612
-0,015049093 0,015049093 0,007920575
-0,136829449 0,136829449 0,06515688
-0,779939781 0,779939781 0,205247311
-0,909884107 0,909884107 0,758236756
-0,081227685 0,081227685 0,090252984
1,779233123 1,779233123 0,413775145
-0,108120844 0,108120844 0,135151055
-0,021978073 0,021978073 0,014652048
-0,006387869 0,006387869 0,002661612
-0,107898843 0,107898843 0,154141204
0,394037289 0,394037289 0,11589332
-0,022021674 0,022021674 0,010486511
-0,020245828 0,020245828 0,012653642
-0,169321732 0,169321732 0,052913041
0,170916967 0,170916967 0,038844765
0,539044463 0,539044463 0,234367158
0,009333139 0,009333139 0,006222093
-0,112389082 0,112389082 0,124876758
0,545334521 0,545334521 0,227222717
0,270821746 0,270821746 0,073195066
Σ 4,127479
В данной модели ошибка аппроксимации составляет 16,51%, т.е., модель удовлетворительной точности. Фактические значения чистого дохода отличаются от расчетных в среднем на 16,51%.
д) Рассчитаем матрицы парных коэффициентов корреляции, и на их основе и по t-критерию отберем информативные факторы в модель