Рассчитать токи во всех ветвях схемы

1. Рассчитать токи во всех ветвях схемы
A) методом непосредственного применения законов Кирхгофа;
Задаемся положительными направлениями токов в схеме, обозначаем узлы.
В рассматриваемой схеме число узлов q=4, количество ветвей с неизвестными токами p=6.
По первому закону Кирхгофа составляется q-1=4-1=3 уравнения:
узел a: I1-I2+I4=0
узел b: I2-I3-I5=0
узел c: -I1+I3-I6=0
В цепи p-q-1=6-4-1=3 независимых контура. Обходим контуры по часовой стрелке и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
контур I: -I1R1-I2R2-I3R3=-E2
контур II: I2R2+I4R4+I5R5=E2+E4
контур III: I3R3-I5R5+I6R6=0
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему и подставляем числовые значения. Упрощаем систему:
I1-I2+I4=0I2-I3-I5=0-I1+I3-I6=0-40I1-40I2-40I3=-20040I2+40I4+40I5=200+15040I3-40I5+40I6=0 I1-I2+I4=0I2-I3-I5=0-I1+I3-I6=0-40I1-40I2-40I3=-20040I2+40I4+40I5=35040I3-40I5+40I6=0
Решаем полученную систему в ПО Mathcad:
Токи в ветвях цепи:
I1=0,313 А
I2=3,438 А
I3=1,25 А
I4=3,125 А
I5=2,188 А
I6=0,938 А
Б) методом контурных токов;
Считаем, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I11, I22, I33 . Произвольно задаем направление контурных токов.
Составляем систему уравнений по МКТ в общем виде:
I11R11-I22R12-I33R13=E11-I11R21+I22R22-I33R23=E22-I11R31-I22R32+I33R33=E33
Определяем суммарные сопротивления контуров:
R11=R1+R2+R3=40+40+40=120 Ом
R22=R2+R4+R5=40+40+40=120 Ом
R33=R3+R5+R6=40+40+40=120 Ом
Определяем взаимные сопротивления контуров:
R12=R21=R2=40 Ом
R13=R31=R3=40 Ом
R23=R32=R5=40 Ом
Определяем алгебраические суммы ЭДС контуров:
E11=-E2=-200 В
E22=E2+E4=E2+E4=350 В
E33=0
Подставим найденные значения в систему уравнений:
120I11-40I22-40I33=-200-40I11+120I22-40I33=350-40I11-40I22+120I33=0
Решаем полученную систему в ПО Mathcad:
lefttop
Контурные токи:
I11=-0,313 А
I22=3,125 А
I33=0,938 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=-I11=--0,313=0,313 А
I2=-I11+I22=--0,313+3,125=3,438 А
I3=-I11+I33=--0,313+0,938=1,25 А
I4=I22=3,125 А
I5=I22-I33=3,125-0,938=2,188 А
I6=I33=0,938 А
B) методом узловых потенциалов.
Заземляем узел «d».
Потенциал узла «d»:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему уравнений по МУП в общем виде:
Gaaφa-Gabφb-Gacφc=Iaa-Gbaφa+Gbbφb-Gbcφc=Ibb-Gcaφa-Gcbφb+Gccφc=Icc
Вычислим собственные проводимости узлов:
Gaa=1R1+1R2+1R4=140+140+140=0,075 См
Gbb=1R2+1R3+1R5=140+140+140=0,075 См
Gcc=1R1+1R3+1R6=140+140+140=0,075 См
Взаимные проводимости узлов:
Gab=Gba=1R2=140=0,025 См
Gac=Gca=1R1=140=0,025 См
Gbc=Gcb=1R3=140=0,025 См
Узловые токи:
в узле «a»: Iaa=-E2R2+E4R4=-20040+15040=-1,25 А
в узле «b»: Ibb=E2R2=20040=5 А
в узле «c»: Icc=0
Подставим найденные значения в систему уравнений:
0,075φa-0,025φb-0,025φc=-1,25-0,025φa+0,075φb-0,025φc=5-0,025φa-0,025φb+0,075φc=0
Решаем полученную систему в ПО Mathcad:
Потенциалы узлов:
φa=25 В
φb=87,5 В
φc=37,5 В
По закону Ома определяем токи в ветвях:
I1=φc-φaR1=37,5-2540=0,313 А
I2=φa-φb+E2R2=25-87,5+20040=3,438 А
I3=φb-φcR3=87,5-37,540=1,25 А
I4=φd-φa+E4R4=0-25+15040=3,125 А
I5=φb-φdR5=87,5-040=2,188 А
I6=φc-φdR6=37,5-040=0,938 А
2.2