Рассчитать первичные и вторичные параметры передачи симметричной кабельной цепи звездной скрутки

Активное сопротивление симметричной кабельной цепи переменному току:
R=2∙R0∙X1+Fkr+p∙Gkr∙da21-Hkr∙da2+Rм
где Х – коэффициент укрутки, принимаем 1,05;
d – диаметр жилы, мм;
p – коэффициент, учитывающий вид крутки, при звездной 5;
а – расстояние между центрами проводников цепи, 4,1 мм;
F(kr), G(kr), H(kr) – специальные функции полученные с использование видоизмененных функций Бесселя, определяем по табл 6.1 [1] для
kr=0,0105df
R0 – сопротивление одного километра проводника цепи постоянному току:
Ro=4000ρπ∙d2
гдеd – диаметр голого проводника, мм
ρ – удельное сопротивление 0,0175 Ом·мм2/м
Rм – дополнительное сопротивление, обусловленное потерями на вихревые токи в соседних проводниках и металлической оболочке, Ом/км:
Rм=Rм.т.f/200
гдеRм.т. – табличное значение сопротивления потерь, в смежных четвертках 7,5, внутри алюминиевой оболочки 5,2 при числе четверок в кабеле 4 (табл 6.7 [1]).
f – частота сигнала, кГц.
Ro=4000∙0.01753,14∙1,22=15,5 Ом/км
Rм1=7,5+5,212200=3,1Ом/км Rм2=7,5+5,240200=5,7Ом/км
Rм3=7,5+5,2120200=9,8Ом/км Rм4=7,5+5,2252200=14,3Ом/км
kr1=0,0105∙1,212000=1,4
по табл 6.1 [1] определяем
F(kr) = 0,00519 для kr = 1
F(kr) = 0,0258 для kr = 1,5
для kr1 = 1,4 определим методом интерполяции:
Fkr=1,4= 0,00519+0,0258-0,005191,4-11,5-1=0,0217
G(kr=1) = 0,01519
G(kr=1,5) = 0,0691
Gkr=1,4= 0,01519+0,0691-0,015191,4-11,5-1=0,0583
Н(kr=1) = 0,053
Н(kr=1,5) = 0,092
Нkr=1,4= 0,053+0,092-0,0531,4-11,5-1=0,0842
R1=2∙15,5∙1,051+0,0217+5∙0,0583∙1,24,121-0,0842∙1,24,12+3,1=37,2
kr2=0,0105∙1,240000=2,5
Fkr= 0,1756 Gkr= 0,295 Hkr= 0,263
R2=2∙15,5∙1,051+0,1756+5∙0,295∙1,24,121-0,263∙1,24,12+5,7=48,2
kr3=0,0105∙1,2120000=4,4
Fkr= 0,8252 Gkr= 0,652 Hkr= 0,4956
R3=2∙15,5∙1,051+0,8252+5∙0,652∙1,24,121-0,4956∙1,24,12+9,8=78,7
kr4=0,0105∙1,2252000=6,3
Fkr= 1,4977 Gkr= 0,9851 Hkr= 0,5729
R4=2∙15,5∙1,051+1,4977+5∙0,9851∙1,24,121-0,5729∙1,24,12+14,3=110
Рисунок 1 – График частотной зависимости активного сопротивления
Индуктивность симметричной кабельной цепи, Гн/км:
L=X4lna-rr+μr∙Qkr10-4
где а – расстояние между проводниками, 4,1 мм;
r – радиус голого проводника: d/2 = 1,2/2 = 0,6 мм
μr – относительная магнитная проницаемость, 1;
Х – коэффициент укрутки, принимаем 1,05;
Q(kr) – специальные функции полученные с использование видоизмененных функций Бесселя, определяем по табл . 6.1 [1].
kr1 = 1,4 Q(kr) =0,949
kr2 = 2,5 Q(kr) =0,913
kr3 = 4,4 Q(kr) =0,63
kr4 = 6,3 Q(kr) =0,4546
L1=1,054ln4,1-0,60,6+1∙0,94910-4=0,84 мГн/км
L2=1,054ln4,1-0,60,6+1∙0,91310-4=0,837 мГн/км
L3=1,054ln4,1-0,60,6+1∙0,6310-4=0,807 мГн/км
L4=1,054ln4,1-0,60,6+1∙0,454610-4=0,788 мГн/км
Рисунок 2 – График частотной зависимости индуктивности
Емкость симметричной кабельной цепи без учета близости соседних пар, Ф/км:
С=ε∙10-636ln(a-r/r)
гдеε – относительная диэлектрическая проницаемость.
С=1,3∙10-636ln(4,1-0,6/0,6)=20,5∙10-9 Ф/км
Емкость симметричной кабельной цепи c учетом близости соседних пар, Ф/км:
С=Х∙ε∙10-636ln(а∙ψ/r)
гдеψ – поправочный коэффициент, характеризующий близость металлических элементов, принимаем 0,6.
С=1,05∙1,3∙10-636ln((4,1∙0,6)/0,6)=26,9∙10-9 Ф/км
Рисунок 3 – График частотной зависимости емкости
Проводимость изоляции симметричной цепи, См/км:
G=ω∙C∙tgδ
гдеω – круговая частота: ω=2∙π∙f
G1=2∙3,14∙12000∙26,9∙10-9 ∙60∙10-4 =12,2∙10-6См/км
G2=2∙3,14∙40000∙26,9∙10-9 ∙72∙10-4 =48,7∙10-6См/км
G3=2∙3,14∙120000∙26,9∙10-9 ∙125∙10-4 =253,4∙10-6См/км
G4=2∙3,14∙252000∙26,9∙10-9 ∙180∙10-4 =766,3∙10-6См/км
Рисунок 4 – График частотной зависимости проводимости
Волновое сопротивление симметричной цепи:
Zв=L/C
Zв1=0,84∙10-3 /26,9∙10-9 =176,7 Ом
Zв2=0,837∙10-3 /26,9∙10-9 =176,4 Ом
Zв3=0,807∙10-3 /26,9∙10-9 =173,2 Ом
Zв4=0,788∙10-3 /26,9∙10-9 =171,2 Ом
Рисунок 5 – График частотной зависимости волнового сопротивления
Коэффициент затухания в кабельной симметричной цепи, дБ/км:
α=R2CL+G2LC8,69
гдеR – сопротивление цепи, Ом/км;
С – емкость цепи, Ф/км;
G – проводимость изоляции, См/км;
L – индуктивность цепи, Гн/км.
Рисунок 6 – График частотной зависимости коэффициента затухания
Коэффициент фазы, рад/км:
β=ωL∙C
гдеω = 2·π·f – круговая частота;
С – емкость цепи, Ф/км;
L – индуктивность цепи, Гн/км.
β1=2∙3,14∙120000,84∙10-3∙26,9∙10-9=0,358 рад/км
β2=2∙3,14∙400000,837∙10-3∙26,9∙10-9=1,192 рад/км
β3=2∙3,14∙1200000,807∙10-3∙26,9∙10-9=3,51 рад/км
β4=2∙3,14∙2520000,788∙10-3∙26,9∙10-9=7,286 рад/км
Рисунок 7 – График частотной зависимости коэффициента фазы
Скорость распространения энергии, км/с:
ν=1L∙C
ν1=1/0,84∙10-3∙26,9∙10-9=210370км/с
ν2=1/0,837∙10-3∙26,9∙10-9=210746км/с
ν3=1/0,807∙10-3∙26,9∙10-9=214628км/с
ν4=1/0,788∙10-3∙26,9∙10-9=217200км/с
Рисунок 8 – График частотной зависимости скорости
Таблица 1 – Расчетные значение параметров передачи
Параметр Частота, кГц
12 40 120 252
Первичные параметры
R, Ом/км 37,2 48,2 78,7 110
L, мГн/км 0,84 0,837 0,807 0,788
C, нФ/км 26,9 26,9 26,9 26,9
G, мкСм/км 12,2 48,7 253,4 766,3
Вторичные параметры
Z, Ом 176,7 176,4 173,2 171,2
α, дБ/км 0,915 1,187 1,974 2,792
β, рад/км
0,358 1,192 3,51 7,286
ν, км/с
210370 210746 214628 217200