Распределение 100 средних фермерских хозяйств по числу наемных рабочих ξ (чел.) и их средней месячной заработной плате на 1 человека η (тыс. руб.) представлено в таблице:
ξ
η 2–4 4–6 6–8 8–10 10–12 Итого
20–25
6 8 4 18
25–30
2 10 2 2 16
30–35 2 6 8 2
18
35–40 4 12 10 2
28
40–45 10 6 4
20
Итого 16 26 38 14 6 100
Необходимо:
вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии;
предполагая, что между переменными ξ и η существует линейная корреляционная зависимость:
найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными ξ и η;
используя соответствующее уравнение регрессии, оценить оценить среднюю месячную заработную плату одного рабочего в хозяйстве, в котором работают 7 наемных рабочих.
Решение
Преобразуем исходные данные и представим в виде корреляционной таблицы. Для этого вычислим середины каждого интервала. Обозначим варианты переменной ξ через , а варианты переменной η через . Получим:
Таблица 6.1
хi
уj 3 5 7 9 11 mу
22,5 6 8 4 18
27,5 2 10 2 2 16
32,5 2 6 8 2 18
37,5 4 12 10 2 28
42,5 10 6 4 20
mx 16 26 38 14 6 n=100
Эмпирическая линия регрессии η по строится по точкам , эмпирическая линия регрессии по η строится по точкам , где – групповые средние, которые вычисляются по формулам:
, .
Найдем групповые средние :
40,00;
и т.д.
Зависимость между значениями признака и групповыми средними называется корреляционной зависимостью η на . Ее можно записать с помощью таблицы:
хi 3 5 7 9 11
40,00 36,73 31,97 26,79 24,17
mx 16 26 38 14 6
С помощью аналогичных вычислений находим .
Корреляционная зависимость на η приведена в таблице:
уj 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5
8,78 7,50 6,11 5,71 4,40
mу 18 16 18 28 20
В прямоугольной системе координат строим все точки, которые отвечают парам чисел . Соседние точки соединяем отрезками прямых
. Полученная линия называется эмпирической линией регрессии η на .
Аналогично строим эмпирическую линию регрессии на η.
Вид этих линий позволяет предположить наличие корреляционной зависимости.
2. а) Найдем выборочные уравнения регрессии. Уравнение регрессии по и по имеют вид:
, , где
,
Здесь - выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация.
Для вычисления всех коэффициентов найдем необходимые суммы:
.
201,7;
-0,209
-2,142.
Уравнения регрессии на η имеет вид: .
Уравнение регрессии η на имеет вид:
В обозначениях данной задачи переменная ξ – число наемных рабочих (чел.) – это варианты хi, а переменная η – среднемесячная заработная плата на 1 человека (тыс.руб.) – это варианты уj. Поэтому зависимость заработной платы от числа наемных рабочих запишем в виде:
Коэффициент регрессии -2,142 показывает, что при увеличении числа наемных рабочих на 1 чел. средняя заработная плата уменьшается в среднем на 2,142 тыс.руб.
Уравнение обратной зависимости η от ξ имеет вид:
.
Оно показывает, на сколько единиц в среднем нужно изменить переменную для того, чтобы увеличить переменную η на 1 единицу
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
