Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру крутящих моментов Т

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары Мa  и MB.
Cоставим условие равновесия вала
MA-0,5m-m+MB=0;
Разобьём брус по длине на 3 участка, I, II, III
Крутящие моменты определяем, используя метод сечений
T1=MA; T2=MA-0,5m;
T3=MA-0,5m-m=MA-1,5m;
Задача является один раз статически неопределимой.
Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. т.е. полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: φAB=0;
φ1+φ2+φ3=0- условие совместности деформаций.
14528801062990004363085126619000
0,5m=5кНм m=10кНм
3483610151130002301875143510003441065656653441252624900022805386249022805386249034124903111500223901033020
00
13404851397000014719309842500
11176004889500418696649238001328420723900043675301930400043726105080000436816550800001468120189865
00
I II III
1487322120897 d2
00 d2
2304158186669 d2
00 d2
13709651651000013404851143000436626012827000
133667512700000437388069215009639307620000 MA MB
1348105615950043783251593600439356515875000
340931517145000226758517081500221170511493500134683550800043929307175500 а)
4365625571500014522456350034671001987550014687551987550034671001714500 А 0,2м 0,4м 0,2м В
2310428272500
7,85
21691602222520516852032019462752286018116552271416884652222515618672178114565272403400 2,85
336550088900326009088900315531588900305752588265296291087630285369086995274828090170263207588900252285588265240398288378232126290675001462405248920 б) + T, кНм
427228046355418465045085406844544450395541547625383921046990371602043180360390642934348377335658900 -
23234651136650 7,15
33839151981202577465196850243651019729214528801270000221307624178210756524130201168011430189166514605176847513335165227013335156186712966230886019558000 в) 73 + 18
4213225781054057015914403908425800103752215800103603906795633256915317531184852540299148519052846705444527120854445148732279313 τ, МПа
-
349821515748000 149 149
5,61
38026891595533650891101725332561051126315574210172529641881234112747334159553252325217762434756533017723185203234600 3,76
4135198996523954486454392107615454391890761996521468856139921468592189359 φ∙103,рад.
Рис.15.1
Полярные моменты сопротивления
IP1=πd14321-c4=πd4321-0,84=0,059d4;
IP2=πd4321-c4=πd4321-0,64=0,087d4;
IP3=βa4=0,141 (0,709d)4=0,036d4;
a=0,709d;
φ1=MA∙lGIp1=MA∙lG∙0,059d4;
φ2=(MA-0,5m)∙2lGIp2=(MA-0,5m)∙2lG∙0,087d4;
φ3=MA-1,5m∙lGIp3=MA-1,5m∙lG∙0,036d4
16,95MA+22,99Ma-0,5m+27,78MA-1,5m=0
67,72MA=53,17m;
MA=7,85кНм; MB=7,15кНм;
T1=7,85кНм; T2=MA-0,5m=2,85кНм;
T3=MA-0,5m-m=MA-1,5m=-7,15кНм;
Строим эпюру крутящих моментов ,рис.15.1,б.
Расчётный (наибольший) крутящий момент составляет
Mkmax=7,85кНм;
Определим размеры вала из расчёта на прочность
WP1=πd13161-c4=πd3161-0,84=0,118d3;
WP2=πd4161-c4=πd4161-0,64=0,174d3;
WP3=αa3=0,208 (0,709d)4=0,0526d4;
Wp1≥Т1τ=7,85∙103150∙106=52,33∙10-6м3;
d1=3Wp10,118=352,230,118=7,6см=76мм;
Wp2≥Т2τ=2,85∙103150∙106=19∙10-6м3;
d2=3Wp20,174=3190,174=4,8см=48мм;
Wp3≥Т3τ=7,15∙103150∙106=47,67∙10-6м3;
d3=3Wp30,0526=347,670,0526=9,7см=97мм;
С учетом заданной конструкции вала
принимаем d=97мм.
5