Расчет стержней на кручение и изгиб

Изобразим стержень с одной опорой согласно исходных данных (рис.2а).
2. Определим крутящие моменты на каждом участке нагружения, пользуясь методом сечений.
Участок I: 0 ≤ z ≤ 0,125м; МI = - M3 = - 3кН*м.
Участок II: 0,125м≤ z ≤ 0,375м; МII = - M3 + M2 = - 3 + 2 = - 1кН*м.
Участок III: 0,375м≤ z ≤ 0,625м; МII = - M3 + M2 = - 3 + 2 = - 1кН*м.
Участок IV: 0,625м ≤ z ≤ 0,75м; МIII = - M3 + M2 – М1 = - 3 + 2 – 4 = - 5 кН*м.
Строим эпюру крутящих моментов (рис.2б).
3. Определение полярных моментов инерции сечений бруса JР по формуле:
- для круглого сечения:
JР1 = JР2 = π * d4 / 32 = 3,14 * d4/ 32 = 0,0982 * d4;
Рис.2 Расчетная схема кручения стержня, закрепленного одной опорой.
- для кольцевого сечения:
JР3 = JР4 = π*D4/32*(1–( D / d )4) = 3,14*(1,2*d)4/32*( 1 – (1 / 1,2)4) = 0,1054 * d4.
4. Определение полярных моментов сопротивления сечения бруса WP.
- для круглого сечения:
WР1 = WР2 = π * d3 / 16 = 3,14 * d3/ 16 = 0,1963 * d3;
- для кольцевого сечения:
WР3 = WР4 = π*D3/16*(1–( D / d )4) = 3,14*(1,2*d)3/16*(1–(1/1,2)4) = 0,1756 * d3.
5. Определим угол закручивания каждого участка бруса по формуле:
φ = Мкр * l / ( G * JP).
φI = - 3 *103 * 0,125 / ( 8 * 1010 * 0,0982 * d4) = - 4,77 * 10-8 * 1d4 м4.
φII = - 1 *103 * 0,25 / ( 8 * 1010 * 0,0982 * d4) = - 3,18 * 10-8 * 1d4 м4.
φIII = - 1 *103 * 0,25 / ( 8 * 1010 * 0,1054 * d4) = - 2,96 * 10-8 * 1d4 м4.
φIV = - 5 *103 * 0,125 / ( 8 * 1010 * 0,1054 * d4) = - 7,41 * 10-8 * 1d4 м4.
6. Строим эпюру углов поворота поперечных сечений бруса (рис.2в).
сечение 0 (жесткая заделка): φ0 = 0.
сечение1: φ1 = φ0 + φIV = - 7,41 * 10-8 * 1d4 м4.
сечение 2: φ2=φ1+φIII= - 7,41 * 10-8 * 1d4 - 2,96 * 10-8 * 1d4 = - 10,37 * 10-8 * 1d4 м4.
сечение 3: φ3=φ2+φII= - 10,37 * 10-8 * 1d4 - 3,18 * 10-8 * 1d4 = - 13,55 * 10-8 * 1d4 м4.
сечение 4: φ4= φ+φI = - 13,55 * 10-8 * 1d4 - 4,77 * 10-8 * 1d4 = - 18,32 * 10-8 * 1d4 м4.
7. Изобразим стержень с двумя опорами согласно исходных данных (рис.3а).
8. Определим степень статической неопределимости бруса. Уравнение равновесия для статически неопределимого бруса.
MA - M1 + M2 – M3 +MB = 0.
Определим степень статической неопределимости s:
s = m – n,
где m – число неизвестных в уравнении статики m = 2 (MA и MB);
n – число уравнений статики, n = 1.
s = 2 – 1 = 1.
Система один раз статически неопределима.
9 . Раскроем статическую неопределимость. Рассматриваем реактивный момент в защемлении B, как неизвестный внешний момент MB.
Определим крутящие моменты на каждом участке нагружения, пользуясь методом сечений.
Участок I: 0 ≤ z ≤ 0,125м; MI = 0; MI = MB.
Участок II: 0,125м ≤ z ≤ 0,25м; МII = MВ – M3 = MВ - 3.
Участок III: 0,25м ≤ z ≤ 0,5м; МIII= MВ – M3 + М2 = MВ – 3 + 2 = МВ - 1.
Участок IV: 0,5м ≤ z ≤ 0,75м; MIV = MВ – M3 + М2 = MВ – 3 + 2 = МВ - 1.
Участок V: 0,75м ≤ z ≤ 0,875м; MV=MВ–M3+М2–М4=MВ–3+2- 4 = МВ - 5.
Для защемленного обоими концами стержня полный угол закручива-ния должен быть равным нулю.
φ1 + φ2 + φ3 + φ4 + φ5 = 0,
где
φ = М * l / ( G * JP).
10. Определение полярного момента инерции сечения прямоугольника.
JP = β * b3 * h.
b/d = 1,25; b = 1,25 * d.
h/b = 1,25; h = b * 1,25 = 1,25 * d * 1,25 = 1,5625 * d.
β1,25 = β1 + β1,5-β1,00,5 * 0,25 = 0,141 + 0,196-0,1410,5*0,25 = 0,1685.
JP = 0,1685 * (1,25 * d)3 * 1,5625 * d = 0,514 * d4.
Рис.3 Расчетная схема кручения стержня, закрепленного двумя опорами.
11. Определение полярного момента сопротивления сечения прямоугольника.
WP = α * b2 * h.
b/d = 1,25; b = 1,25 * d.
h/b = 1,25; h = b * 1,25 = 1,25 * d * 1,25 = 1,5625 * d.
α1,25 = α1 + α1,5-α1,00,5 * 0,25 = 0,208 + 0,231-0,2080,5*0,25 = 0,2195.
WP = 0,2195 * (1,25 * d)2 * 1,5625 * d = 0,5359 * d3.
12. Определение углов закручивания на каждом участке.
φI = МI * l1 / ( G * JP1) = MB * 0,125 / ( G * 0,514 * d4 ).
φII = МII * l2 / ( G * JP2) = ( MB - 3 ) * 0,125 / ( G * 0,0982 * d4 ).
φIII = МIII * l3 / ( G * JP3) = ( MB – 1 ) * 0,25 / ( G * 0,0982 * d4 ).
φIV = МIV * l4 / ( G * JP4) = (MB – 1) * 0,25 / ( G * 0,1054 * d4 ).
φV = МV * l5 / ( G * JP5) = (MB – 5) * 0,125 / ( G * 0,1054 * d4 ).
Тогда
MB * 0,125 / ( G * 0,514 * d4 ) + ( MB – 3 ) * 0,125 / ( G * 0,0982 * d4) +
(MB - 1) * 0,25 / ( G * 0,0982 * d4) + (MB – 1) * 0,25 / ( G * 0,1054 * d4 ) +
(MB – 5) * 0,125 / ( G * 0,1054 * d4) = 0;
MB * 0,125 / 0,514 + (MB - 3) * 0,125 / 0,0982 + (MB - 1) * 0,25 / 0,0982 +
(MB – 1 ) * 0,25 / 0,1054 + (MB – 5) * 0,125 / 0,1054 = 0;
MB * 0,2432 + MB * 1,2729 - 3,8187 + MB * 2,5458 - 2,5458 + MB * 2,3719 – 2,3719 + MB* 1,186 – 5,9298 = 0;
MB * 7,1698 - 14,6662 = 0; MB = 14,6662 / 7,1698 = 2,045 кН*м
Из уравнения равновесия находим.
MA = M1 – M2 + М3 – MВ = 4 - 2 + 3 – 2,045 = 2,955кН*м.
13