Расчет статически определимой стержневой системы

Рис. 7.1. Схема (общая) стержневой системы.
Приведем общую схему в соответствии с заданными условиями (рис. 7.2 )
Рис. 7.2. Заданная схема стержневой системы.
Для определения усилий в стержнях мысленно разделим стержневую систему на две составляющие. В первую очередь рассмотрим жесткий элемент I (рис. 7.3), так как при рассечении стержня 1 он теряет первоначальную форму равновесия. Приложим к стержню 1 неизвестную продольную силу N1, направим ее от сечения, предположив, что стержень растягивается, и определим ее значение.

Рис. 7.3. Схема жесткого элемента I.
Для определения усилия N1, составляем уравнение равновесия в виде:
ΣМА = 0; N1·l + q2·a·(l - a/2) = 0, ⟹ N1= - q2·a·(l - a/2)/l = - 20·2·(7- 2/2) = - 240 кН.
Знак «минус» указывает на то, что стержень 1, не растянут как мы предположили, а - сжат.
Определяем опорные реакции XА и YА, составив уравнения равновесия:
ΣX = 0; XA = 0;
ΣY = 0; YA - N1 – q2·a = 0, ⟹ YA = N1 + q2·a = - 240 + 20·2 = - 200 кН.
Знак «минус» показывает, что направление реакции YA необходимо заменить на противоположное .
Рассмотрим жесткий элемент II (рис. 7.4), приложив к нему растягивающую продольную силу N1.
Рассечем стержень 2, приложив к нему растягивающее усилие N2.
Рис.7.4. Схема жесткого элемента II.
Cоставим уравнение равновесия:
ΣМВ = 0; N2·sinα·b - (F3 + N1)·l = 0, где α - угол между жестким элементом II и стержнем 2.
tgα = a/2a = 0,500, тогда sinα = 0,447 и cosα = 0,894.
Длины стержней равны: l1 = a =2,0 м; l2 = (а2 + 4а2)1/2 = 2,236 м.
N2 = (F3 + N1)·l/sinα·b = (60 - 240)·7,0/0,447·3,0 = - 939,6 кН, т.е. стержень 2, также - сжат.
Определяем опорные реакции YB и XB, составив уравнения равновесия:
ΣX = 0; XВ - N2·cosα = 0, ⟹ XВ = N2·cosα = - 939,6·0,894 = - 840,0 кН.
ΣY=0; YВ + F3 +N1 - N2·sinα =0, ⟹ YВ = - F3 - N1 +N2·sinα = - 60 + 240 - 939,6·0,447=
= - 240,0 кН.
Подбираем диаметр сечения для стержней по расчетному сопротивлению R:
σ = N/A ≤ R ⟹ A ≥ N/R, где для круглого сплошного сечения площадь равна:
A = π·d2/4 ⟹ d = (4·A/π)1/2 = (4·N/R·π)1/2.
d1 = (4·N1/R·π)1/2 = (4·240·103/210·3,14) 1/2 = 38,2 мм, принимаем d1 = 40 мм =4,0 см
тогда: A1 = π·d12/4 = 3,14·4,02/4 = 12,56 см2.
Для второго стержня: d2 = (4·N2/R·π)1/2 = (4·939,6·103/210·3,14) 1/2 = 75,5 мм, принимаем d2 = 76 мм = 7,6 см.
A2 = π·d22/4 = 3,14·7,62/4 = 45,34 см2.
Для проведения расчета на жесткость определим удлинение стержней 1 и 2:
Рис.7.5