Расчет статически определимой двухопорной балки на прочность

1. Определяем числовые значения Р и М:
Р = qa = 3,2·104·1,7 = 54,4кН; M = 2qa2 = 2·3,2·104·1,72 = 184,96 кН·м.
2. Определяем опорные реакции, для чего составляем уравнения равновесия:
ΣМА = 0, VB·2a -М - P·a - q·a2/2 = 0, (1)
ΣМB = 0, -VA·2a - М + P·a + q·a·1,5a = 0, (2). Из уравнения (1), находим:
VB = 0,5·( М/а + Р + q·a/2) = 0,5·(184,96/1,7 + 54,4 + 32·1,7/2) = 95,2 кН.
Из уравнения (2), получаем:
VA = 0,5·( - М/а + Р +1,5·q·a) = 0,5·(-184,96/1,7 + 54,4 + 1,5·32·1,7) = 13,6кН. Проверка. ΣY= VA+ VB - Р - qa = 13,6 + 95,2 - 54,4 - 32·1,7 = 108,8 - 108,8 = 0, т.е. условие равновесия - выполняется, следовательно опорные реакции определены - верно.
3. Для построения эпюр, разбиваем длину балки на три силовых участка: I, II и III.
В каждом из которых проводим сечения и находим аналитические зависимости вида: Q = Q(z) и М = М(z), на основании которых строим эпюры.
Участок I (CA): 0 ≤ z1 ≤ ka = 1,53 м.
Q(z1) = 0 = сonst, следовательно QС = QлевА = 0.
М(z1) = М = 184,96 кН·м = сonst, следовательно МС = МА = 184,96 кН·м.
Участок II (AB): 0 ≤ z2 ≤ a = 1,7 м.
Q(z2) = VA - q·z2 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QA = 13,6 - q·0 = 13,6кН,
Q(1,7) = QлевE = 13,6 - 32·1,7 = - 40,8 кН, т.е . на этом участке поперечная сила Q, меняет свой знак. Определим при каком значении z0 это происходит.
VA - q·z0 = 0, ⇒ z0 = VA/q = 13,6/32,0 = 0,425 м.
М(z2) = М + VA·z2 - q·z22/2 - уравнение параболы.
М(0) = МА = 184,96 + VA·0 - q·02/2 = 184,96 кН·м.
М(z0) = М(0,425) = М0 = 184,96 +13,6·0,425 - 32·0,4252/2 = 187,85 кН·м.
М(1,7) = МЕ = 184,96 +13,6·1,7 - 32·1,72/2 = 161,84 кН·м.
Участок III (BE): 0 ≤ z3 ≤ a = 1,7 м.
Q(z3) = -VB = - 95,2 кН= сonst, следовательно QВ = QправЕ = - 95,2 кН.
М(z3) = VB·z3 - уравнение наклонной прямой.
М(0) = МВ = VB·0 = 0,
М(1,7) = МЕ = 95,2·1,7 = 161,84 кН·м. По полученным результатам строим эпюры Q и М.
Подбор (определение размеров) сечений.
Условие прочности при прямом поперечном изгибе имеет вид:
𝜎max = Mmax/WX ≤ [𝜎], отсюда находим требуемый момент сопротивления сечения:
Wтр ≥ Mmax/[𝜎], здесь Mmax = М0 = 187,85 кН·м.
Wтр ≥ 187,85·103/(160·106) = 1174,1·10-6 м3 = 1174,1 см3.
а) круглое сечение
Wкр = π·d3/32, тогда d ≥ (32·Wтр/π)1/3 = (32·1174,1/3,14)1/3 = 22,87 см = 228,7 мм, принимаем окончательно , округляя в большую сторону d = 230 мм = 23,0 см.
Площадь сечения равна: Акр = π·d2/4 = 3,14·23,02/4 = 415,5 см2.
б) прямоугольное сечение (h/b = 2)
Wпр = b·h2/6 = b·(2b)2/6 = 2b3/3, тогда b ≥ (1,5Wтр) 1/3 = (1,5·1174,1) 1/3 = 12,08 cм =
= 120,8 мм, примем b = 12,2 см, тогда: h = 2b = 2·12,2 = 24,4 см.
Площадь сечения равна: Апр = b·h = 12,2·24,4 = 297,7см2.
в) квадратное сечение (h = b)
Wкв = b3/6, тогда b ≥ (6Wтр) 1/3 = (6·1174,1) 1/3 = 19,17 см = 191,7 мм, принимаем
b = h = 195 мм = 19,5 см.
Площадь сечения равна: Акв = b·h = 19,5·19,5 = 380,2 см2.
г) двутавровое
По ГОСТ 8239-89, находим ближайший больший по значению WХ номер двутавра, а именно двутавр №45, имеющий WХ =1231 см3 и Адв = 84,7см2.
д) сечение из швеллера
По ГОСТ 8240-89, находим ближайший больший по значению WХ номер швеллера, а именно швеллер №36, имеющий WХ = 601 см3 и Ашв = 53,4см2, но в количестве двух штук, рядом расположенные, так как наибольший предусмотренный ГОСТ швеллер №40, имеет только WХ = 761 см3, что недостаточно для обеспечения прочности.
Ашв = 2·53,4 = 106,4 см2