Расчет переходных процессов в цепях постоянного тока с одним накопителем энергии – индуктивностью

Классический метод расчета переходного процесса
1. Расчет токов и напряжений в установившемся режиме до коммутации (ключ К замкнут) в момент времени t=0-.
В установившемся режиме до коммутации в цепи постоянного тока индуктивность заменяем перемычкой (сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю).
Составим схему для расчета цепи до коммутации (рис. 7.2):
Рисунок 8.2 – Схема для расчета цепи до коммутации в установившемся режиме
Ток в неразветвленной части цепи:
i10-=Ur1+11r2+1r4+1r3=16040+1120+120+180=16048,889=3,273
i10-=3,273 А
Падение напряжене в параллельных ветвях:
Ur2,r4,r30-=U-i10-*r1=160-3,273*40=29,08
Ur2,r4,r30-=29,08 В
Токи в параллельных ветвях:
i20-=Ur2,r4,r30-r2=29,0820=1,454
i20-=1,454 А
iL0-=Ur2,r4,r30-r4=29,0820=1,454
iL0-=1,454 А
i30-=Ur2,r4,r30-r3=29,0880=0,365
i30-=0,365 А
Напряжение на индуктивности равно нулю:
uL0-=iL0-*rL=1,454*0=0
uL0-=0
2. Принужденные составляющие токов и напряжений определяются из расчета установившегося режима после коммутации (ключ К разомкнут) в момент времени t=∞.
Рисунок 8.3 – Схема для расчета цепи после коммутации в установившемся режиме
Ток в неразветвленной части цепи:
i1пр=Ur1+11r4+1r3=16040+1120+180=16048,889=2,857
i1пр=2,857 А
Падение напряжене в параллельных ветвях:
Ur4,r3пр=U-i1пр*r1=160-2,857*40=45,72
Ur4,r3пр=45,72 В
Токи в параллельных ветвях:
iLпр=Ur4,r3прr4=45,72 20=2,286
iLпр=2,286 А
i3пр=Ur4,r3прr3=45,7280=0,572
i3пр=0,572 А
Напряжение на индуктивности равно нулю:
uLпр=iLпр*rL=2,286*0=0
uLпр=0
3. Токи в ветви с индуктивностью определяется как сумма свободной и принужденной составляющих:
iLt=iLпр+iLсв=2,286+A*ep*t
iLt=2,286+A*ep*t
p – корень характеристического уравнения
4 . Характеристическое уравнение цепи.
Рисунок 8.4 – Схема цепи для расчета корня характеристического уравнения
Zp=r1+r3*r4+p*Lr3+r4+p*L=40+80*20+p*0,0180+20+p*0,01=40+1600+p*0,8100+p*0,01=
=4000+p*0,4+1600+p*0,8100+p*0,01=1,2*p+5600100+p*0,01
Zp=1,2*p+5600100+p*0,01=0
1,2*p+5600=0
1,2*p=-5600
p=-4666,667 с-1
6. Для определения постоянного коэффициента рассмотрим ток через индуктивность после коммутации, в момент переходного процесса t=0+.
Воспользуемся первым законом коммутации:
ток через индуктивность в первый момент после коммутации равен току через эту же индуктивность в последний момент перед коммутацией (ток на индуктивности скачком измениться не может).
iL0+=iL0-=1,454 А
iLt=2,286+A*e-4666,667 *t
1,454=2,286+A*e-4666,667 *0
1,454=2,286+A
A=-0,832
Ток, протекающий через индуктивность, во время переходного процесса изменяется по закону:
iLt=2,286-0,832*e-4666,667 *t А
Падение напряжения на индуктивности определяется по закону электромагнитной индукции из соотношения:
uLt=L*diLtt
diLtt=2,286-0,832*e-4666,667 *t'=-0,832*-4666,667*e-4666,667 *t
diLtt=3882,667*e-4666,667 *t Ас
uLt=0,01*3882,667*e-4666,667 *t=38,827*e-4666,667 *t
uLt=38,827*e-4666,667 *t В
Остальные токи и падения напряжений определяются по законам Ома и Кирхгофа.
Рисунок 8.5 – Схема цепи для расчета зависимости токов и напряжений от времени
Уравнение переходного процесса напряжения по закону Ома на резисторе r4:
ur4t=iLt*r4
ur4t=2,286-0,832*e-4666,667 *t*20=45,72-16,64*e-4666,667 *t
ur4t=45,72-16,64*e-4666,667 *t В
По второму закону Кирхгофа:
ur3t=uLt+ur4t
ur3t=38,827*e-4666,667 *t+45,72-16,64*e-4666,667 *t
Уравнение переходного процесса напряжения на резисторе r3:
ur3t=45,72+22,187*e-4666,667 *t В
По закону Ома:
i3t=ur3tr3
i3t=45,72+22,187*e-4666,667 *t80=0,572+0,277*e-4666,667 *t
Уравнение переходного процесса тока через резистор r3:
i3t=0,572+0,277*e-4666,667 *t А
По первому закону Кирхгофа:
i1t=i3t+iLt
i1t=0,572+0,277*e-4666,667 *t+2,286-0,832*e-4666,667 *t
Уравнение переходного процесса тока через резистор r1:
i1t=2,858-0,555*e-4666,667 *t А
ur1t=i1t*r1
ur1t=2,858-0,555*e-4666,667 *t*40=114,32-22,2*e-4666,667 *t
Уравнение переходного процесса напряжения по закону Ома на резисторе r1:
ur1t=114,32-22,2*e-4666,667 *t В
Операторный метод расчета переходного процесса
1 Составляем операторную схему замещения цепи, сложившейся после коммутации, с учетом начальных условий из расчета цепи классическим методом.
iL0-=1,454 А
Рисунок 8.6 – Операторная схема замещения цепи
Операторные изображения токов и напряжений найдем методом узловых потенциалов в операторной форме.
Потенциал узла b в операторной форме примем:
φbp=0
Уравнение потенциала узла a в операторной форме:
φap*Gap=Uap
Операторная проводимость узла a:
Gap=1r1+1r4+p*L+1r3
Gap=140+120+p*0,01+180=380+120+p*0,01=140+0,03*p1600+p*0,8
Gap=140+0,03*p1600+p*0,8
Узловые токи источников:
Uap=Up*1r1-L*iL0-*1r4+p*L
Uap=160p*140-0,01*1,454*120+p*0,01=4p+0,0145420+p*0,01=
=80+0,04*p-0,01454*pp*20+p*0,01=0,02546*p+80p*20+p*0,01
Uap=0,02546*p+80p*20+p*0,01
Подставляем полученные данные:
φap=UapGap
φap=0,02546*p+80p*20+p*0,01140+0,03*p1600+p*0,8=0,02546*p+80*1600+p*0,8p*20+p*0,01*140+0,03*p=
=0,02546*p+80*0,8*2000+pp*0,01*2000+p*140+0,03*p=80*0,02546*p+80p*140+0,03*p
φap=80*0,02546*p+80p*140+0,03*p
Изображение тока I3:
I3p=φap-φbpr3
I3p=80*0,02546*p+80p*140+0,03*p80=0,02546*p+80p*140+0,03*p
I3p=0,02546*p+80p*140+0,03*p
Для перехода от операторного изображения тока к оригиналу используем теорему разложения