Расчет неразрезной балки по уравнениям трех моментов

ССН = 5 – 3 = 2 (пять неизвестных реакций в опорах минус три уравнения равновесия для их нахождения)
При построении основной схемы балка разделена на простые балки с дополнительными шарнирами в местах крепления опор. Опора 1 заменена на подвижную, отброшена консоль, действие силы P1 заменено равнодействующей M=m1-P·l0=100-50·1=50 кН·м.
Учитывая, что M=-50 кН·м, l1=2 м, l2=1 м, l3=2 м, определяем углы поворота отдельно от каждой из нагрузок для каждой опоры. Угол поворота будет считаться положительным, если он направлен по часовой стрелке.
227965212
Опора 1
θ1лев=0
θ1прав=θ1правM+θ1правP2=1EIMl13+P2l1216=1EI50·23+50·2216=45,83EI
Опора 2
θ2лев=θ2левM+θ2левP2=1EIMl16-P2l1216=1EI50·26-50·2216=4,17EI
θ2прав=θ2правq1=1EI·q1l2324=1EI·10·1324=0,42EI
Опора 3
θ3лев=θ2левq1=1EI·-q1l2324=1EI·-10·1324=-0,42EI
θ3прав=θ3правq2+θ3правP3=1EI·7q1l33360+P3l3216=1EI·7·10·23360+50·2216=14,06EI
Составляем уравнения трех моментов для каждой из опор.
Для опоры 1 (n = 1)
M0·l1+2·M1l1+l2+M2·l2=-6EI(θ1прав-θ2лев)
Для опоры 2 (n = 2)
M1·l2+2·M2l2+l3+M3·l3=-6EI(θ2прав-θ3лев)
Составляем систему уравнений
M0·l1+2·M1l1+l2+M2·l2=-6EI(θ1прав-θ2лев)M1·l2+2·M2l2+l3+M3·l3=-6EI(θ2прав-θ3лев)
Учитывая, что M0=M=-50 кН·м, M3=0, l1=2 м, l2=1 м, l3=2 м, подставляем численные данные:
-50·2+2·M12+1+M2·1=-6EI45,83EI-4,17EIM1·1+2·M21+2=-6EI0,42EI--0,42EI
-100+6M1+M2=-249,96M1+6M2=-5,04
Получим M1=-25,56 кН·м;M2=3,42 кН·м
5) Определение опорных реакций
Рассмотрим уравнения равновесия отдельных статически-определимых шарнирно-опертых балок.
Изображаем все внешние силы и найденные моменты действующие на первый пролет.
Y=0;R1-P2+R2лев=0;
M(1)=0;-M0+P2·l12-R2лев·l1+M1=0;
R2лев=-M0+P2·l12+M1l1=-50+50·2+25,562=37,78 кН;
R1=P2-R2лев=50-37,78=12,22 кН;
Второй пролет
Y=0;-q1·l2+R2прав+R3лев=0;
M(2)=0;-M1-q1·l222+M2+R3лев·l2=0;
R3лев=M1+q1·l222-M2l2=-25,56+10·122-3,421=-24 кН;
R2прав=q1·l2-R3лев=10·1+24=34 кН;
R2=R2лев+R2прав=37,78+34=71,78 кН
Третий пролет
Y=0;-q2·l32+R3прав+R4-P3=0;
M(2)=0;-M2-P3·l3+q2·l32·2·l33+R3прав·l3=0;
R3прав=M2+P3·l3-q2·l336l3=3,42+50·2-10·2362=45,04 кН;
R4=q2·l32-R3прав+P3=10·22-45,04+50=14,96 кН
R3=R3лев+R3прав=-24+45,04=21,04 кН
Выражения для изгибающих моментов и поперечных сил для всей балки:
Qy=-P1z>l+R1z>2l -P2z>3l+R2-q1(z-3l)z>4l+R3-q2·(z-4l)4z>5l-P3-3q2·(z-5l)4=
=-50z>l+ 12,22z>2l -50z>3l+71,78-10(z-3)z>4l+21,04-2,5(z-4)z>5l-50-7,5·(z-5)
My=-P1·zz>l+m1+R1(z-l)z>2l -P2z-2lz>3l+R2(z-3l)-q1z-3l22z>4l+R3z-4l-q22z-4l36 z>5l-P3z-5l-q22·z-5l22-q22z-5l36=-50·zz>l+100+12,22z-1z>2l -50z-2z>3l+71,78z-3-10z-322z>4l+21,04(z-4)-5z-436z>5l-50z-5l-5·z-5l22-5z-5l36
Заносим значения внутренних силовых факторов в начале и в конце каждого из участков в таблицу.
z, м 0 1-0 1+0 2-0 2+0 3-0 3+0 4-0 4+0 5-0 5+0 6
Qy, кН -50 -50 -37,8 -37,8 -87,8 -87,8 -16 -26 -5 -7,5 -57,5 -65
Mx, кН·м 0 -50 50 62,2 62,2 24,4 24,4 53,4 53,4 92,6 92,6 0
По полученным данным строим эпюры.
Наибольшее значение поперечной силы и изгибающего момента в каждом пролете:
0<z<l:Qmax=50 кН, Mmax=50 кН;
l<z<3l:Qmax=87,8 кН, Mmax=62,2 кН
3l<z<4l:Qmax=26 кН, Mmax=53,4 кН
4l<z<6l:Qmax=57,5 кН, Mmax=92,6 кН
Подбор поперечного сечения
σzmax=MmaxWx≤[σ]
Wxmin= Mmax[σ]= 92,6·103160·106=0,579·10-3 м3=579 см3
Ближайшим профилем оказывается двутавр № 33 у которого Ix=9840 см4, Wx=597 см3, s=7 мм, Sx=339 см3.
Проверяем выполнение условия прочности по касательным напряжениям
τ=Qmax·SxIx·s= 87,8·103·339·10-69840·10-8·7·10-3=0,432·108 Па=43,2 МПа<τ=100 МПа
Следовательно, условие прочности по касательным напряжениям выполнено.
Приближенное очертание изогнутой оси показано на рисунке.