Расчет многопролетной статически определимой балки

1. Кинематический анализ балки.
Цель анализа – установить число шарниров, введённых в пролёты и определить правильность их размещения.
Число шарниров определяем по формуле:
Ш=C0-3=5-3=2; (1)
где: C0=5 – число опорных связей (2 реакции связи в опоре B – шарнирно-неподвижная опора; 3 реакции связи в вертикальных опорах в точках C, E и H).
Число шарниров, введённых в пролёт, соответствует числу шарниров, найденному по формуле (1).
1.2 Строим схему взаимодействия («поэтажную») балки.
Рисунок 2. а) Исходная схема балки; б) поэтажная схема балки.
На схеме видно, что балка ABCD – основная (имеющая собственные опоры), балки DEF и FGH – вспомогательные (имеющие одну собственную опору).
1.3 Составим расчётную схему простых балок.
Рисунок 3. Расчётная схема простых балок

2. Определяем реакции в опорах балки.
2.1 Найдем реакции опор в каждой простой балке, построим эпюры
моментов и поперечных сил в каждой простой балке.
Балка FGH.
Рисунок 4 – Балка FGH
Балка FGH, загруженная в середине пролета сосредоточенной нагрузкой P, является табличной расчётной схемой, реакции связи для этой балки можно определить по формуле:
VF=VH=P2=252=12,5 кН .
Эпюры моментов и поперечных сил для данной балки также имеют табличное значение:
Q1=VF=12,5 кН ;
Q2=-VH=-12,5 кН ;
Mmax=P∙(2l)4=25∙104=62,5 кН∙м.
Реакция HF в балке равна нулю.
Эпюры моментов и поперечных сил для балки FGH представлены на рисунке 5.
Рисунок 5 – Эпюры моментов и поперечных сил в балке FGH
Балка DEF.
Рисунок 6 – Балка DEF
Найдём реакции в балке DEF.
Составляем уравнения равновесия для плоской системы сил (рисунок 6):
∑MD=0: -q∙kl∙kl2+VE∙kl-VF'∙kl+l=0; 1∑ME=0: -VD∙kl+q∙kl∙kl2-VF'∙l=0. 2
Из уравнения (1):
VE∙kl=VF'∙kl+l+q∙kl∙kl2;
VE=VF'∙kl+l+q∙kl∙kl2kl=VF'∙kl+VF'∙l+q∙kl∙kl2kl=
=VF'+VF'∙lkl+q∙kl2=12,5+12,5∙56+20∙62=12,5+10,42+60=
=82,92 кН.
Из уравнения (2):
VD∙kl=q∙kl∙kl2-VF'∙l;
VD=q∙kl∙kl2-VF'∙lkl=q∙kl2-VF'∙lkl=20∙62-12,5∙56=60-10,42=
=49,58 кН.
Для проверки составим уравнение равновесия на вертикальную ось
(рисунок 7):
∑Fky=0; VD-q∙kl+VE-VF'=0;
49,58-20∙6+82,92-12,5=0;
132,5-120-12,5=0;
132,5-132,5=0;
0=0 – реакции найдены верно.
Строим эпюры моментов и поперечных сил в балке DEF.
Построение эпюр M и Q будем производить методом сечений . Балка состоит из двух участков – DE и EF, проведём сечения на каждом участке и найдём значения поперечных сил и изгибающих моментов в начале и в конце участка.
Участок DE.
-44453175000≤x≤6 м.
Qx=VD-q∙x ;
Mx=VD∙x-q∙x∙x2
Q0=VD=49,58 кН;
Q6=49,58-20∙6=
=49,58-120=-70,42 кН.
M0=0; M6=49,58∙6-20∙6∙62=297,48-360=-62,52 кН∙м.
Определение максимального момента на участке DE.
На участке с распределённой нагрузкой изгибающий момент достигает своего максимума в точке, где поперечная сила равна нулю.
Qxmax=VD-q∙xmax=0;
VD-q∙xmax=0;
q∙xmax=VD;
xmax=VDq=49,5820=2,479 (м);
Тогда максимальный момент будет равен:
Mmax=VD∙xmax-q∙xmax∙xmax2=49,58∙2,479-20∙2,479 ∙2,479 2=
=122,9088-61,4544=61,45 кН∙м.
Участок EF.
-444563500 0≤x≤5 м.
Qx=VF'=12,5 кН;
Mx=-VF'∙x;
M0=0;
M5=-12,5∙5=-62,5 кН∙м.
Строим эпюры M и Q в балке DEF (рисунок 7).
Рисунок 7 – Эпюры моментов и поперечных сил в балке DEF
Балка ABCD.
Рисунок 8 – Балка ABCD
Найдём реакции в балке ABCD.
Составляем уравнения равновесия для плоской системы сил (рисунок 8):
∑MB=0: -M+VC∙kl-VD'∙kl+kl-q∙kl∙kl2+kl=0; 1∑MC=0: -M-VB∙kl-q∙kl∙kl2-VD'∙kl=0. 2
Из уравнения (1):
VC∙kl=VD'∙kl+kl+q∙kl∙kl2+kl+M;
VC=VD'∙kl+kl+q∙kl∙kl2+kl+Mkl=VD'∙2kl+q∙kl∙1,5kl+Mkl=
=VD'∙2+q∙1,5kl+Mkl=49,58∙2+20∙1,5∙6+256=
=99,16+180+4,17=283,33 кН.
Из уравнения (2):
VB∙kl=-M-q∙kl∙kl2-VD'∙kl;
VB=-M-q∙kl∙kl2-VD'∙klkl=-Mkl+q∙kl2+VD'=
=-256+20∙62+49,58=-4,17+60+49,58=-113,75 кН.
Поменяем направление реакции VB на противоположное и сделаем проверку найденных реакций (рисунок 9). Для проверки составим уравнение равновесия на вертикальную ось:
∑Fky=0; -VB+VC-q∙kl-VD'=0;
-113,75+283,3-20∙6-49,58=0;
-113,75+283,3-120-49,58=0;
-233,75+283,3-49,58=0;
-283,33+283,3=0;
0=0 – реакции найдены верно.
Строим эпюры М и Q на различных участках балки.
Участок АВ.
lefttop00
0≤x≤5
Qx=0; Mx=25 кН∙м.
Участок ВС.
-4445-444500
0≤x≤6
Qx=-VB=-113,75 (кН);
Mx=M-VB∙x;
M0=M=25 кН∙м;
M6=25-113,75∙6=
=25-682,5=-657,5 кН∙м.
Участок CD.
-18605517907000
0≤x≤6
Qx=VD'+q∙x ;
Mx=-VD'∙x-q∙x∙x2 ;
Q0=VD'=49,58 кН;
Q6=49,58+20∙6=49,58+120=
=169,58 кН.
M0=0; M6=-49,58∙6-20∙6∙62=-297,48-360=-657,5 кН∙м.
Строим эпюры M и Q в балке ABCD (рисунок 9).
Рисунок 9 – Эпюры моментов и поперечных сил в балке ABCD
3