Расчет линейной электрической цепи постоянного тока
Задана электрическая схема цепи на рис. 1.
Рисунок 1 – Исходная схема электрической цепи постоянного тока
Исходные данные для схемы приведены в табл. 1.
Таблица 1 – Параметры электрической цепи постоянного тока
E2
E3
E5
E6
R1
R2
R3
R4
R5
R6
В Ом
130 90 120 180 24 16 20 14 10 12
Требуется:
Составить систему уравнений для расчета токов в ветвях на основании законов Кирхгофа (решать систему уравнений не следует).
Определить токи во всех ветвях схемы с помощью метода контурных токов.
Определить токи во всех ветвях схемы с помощью метода узловых потенциалов.
Определить ток в первой ветви, используя метод эквивалентного генератора.
Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего в себя несколько ЭДС.
Решение
1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Произвольно выбираем направления токов в цепи (рис. 2) и направления обхода контуров.
Рисунок 2 – Схема цепи для расчета методом законов Кирхгофа
Укажем все узлы, ветви и контуры получившейся электрической цепи.
Узел (у) – это точка электрической цепи, где сходится не менее трех ветвей. Цепь содержит четыре узла:
a;b;c;d n=4
Ветвь (в) – это участок электрической цепи из одного или нескольких элементов, с последовательным соединением элементов, расположенный между двумя узлами. Цепь содержит шесть ветвей:
R1;E2+R2;E3+R3;R4;E5+R5;E6+R6 m=6
Контуром (к) называют любой замкнутый участок электрической цепи.
Независимый контур – это контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие контуры. Цепь содержит три независимых контура:
K1→R1;E2+R2;R4
K2→R4;E6+R6;E5+R5
K3→E6+R6;E3+R3;R1
k=3
Так как в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно:
m=6
По первому закону Кирхгофа составляем n-1=4-1=3 уравнений. Недостающие m-n-1=6-3=3 уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.
Составляем уравнения по первому и второму законам Кирхгофа.
Первое закон Кирхгофа:
Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.
Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от узла:
k=1nIk=0
Для узла a:
I2-I4+I5=0
Для узла b:
I4-I1-I6=0
Для узла c:
I1-I2-I3=0
Второй закон Кирхгофа:
Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
k=1nEk=k=1nIkRk
E1+E2+E3+…+Ek=I1R1+I2R2+I3R3+…+IkRk
Для контура K1:
I1*R1+I2*R2+I4*R4=E2
Для контура K2:
I4*R4+I6*R6+I5*R5=E6+E5
Для контура K3:
I6*R6-I3*R3-I1*R1=E6-E3
Решив систему, состоящую из шести уравнений, находим шесть неизвестных токов.
I2-I4+I5=0I4-I1-I6=0I1-I2-I3=0I1*R1+I2*R2+I4*R4=E2I4*R4+I6*R6+I5*R5=E6+E5I6*R6-I3*R3-I1*R1=E6-E3
I2-I4+I5=0I4-I1-I6=0I1-I2-I3=0I1*24+I2*16+I4*14=130I4*14+I6*12+I5*10=180+120I6*12-I3*20-I1*24=180-90
I2-I4+I5=0I4-I1-I6=0I1-I2-I3=0I1*24+I2*16+I4*14=130I4*14+I6*12+I5*10=300I6*12-I3*20-I1*24=90
2. Метод контурных токов
Метод контурных токов основан на введении промежуточной неизвестной величины – контурного тока и использовании второго закона Кирхгофа.
Рисунок 3 – Схема цепи для расчета методом контурных токов
Контурный ток – собственный ток каждого независимого контура.
Реальный ток в ветвях определяется как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.
Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа, т.е. числу независимых контуров (рис 3).
Проставляем направления контурных токов на расчетной схеме.
Для каждого независимого контура составляем расчетное контурное уравнение согласно правилу:
левая часть равна сумме произведений контурного тока на собственное сопротивление этого контура, взятое со знаком «плюс», и контурных токов прилегающих контуров на сопротивления смежных ветвей, взятых со знаком «минус», если направления контуров не совпадают и взятых со знаком «плюс», если направления контуров совпадают;
правая часть равна алгебраической сумме э.д.с. этого контура – контурной э.д.с., взятой со знаком «плюс», если направление контурного тока совпадает с направлением ЭДС.
Для рассматриваемой трехконтурной цепи (рис. 3) система уравнений относительно контурных токов примет вид:
I11*R11+I22*R12+I33*R13=E11 для контура I11I11*R21+I22*R22+I33*R23= E22 для контура I22I11*R31+I22*R32+I33*R33=E33 для контура I33
Подсчитаем значения коэффициентов системы:
собственные сопротивления контуров (собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят):
R11=R1+R2+R4=24+16+14=54
R11=54 Ом
R22=R4+R6+R5=14+12+10=36
R22=36 Ом
R33=R1+R6+R3=24+12+20=56
R33=56 Ом
общие сопротивления контуров (общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам, взятого со знаком «+», если направление обхода контуров совпадают):
R12=R21=R4=14 Ом
R13=R31=-R1=-24 Ом
R23=R32=R6=12 Ом
контурные ЭДС (контурная ЭДС – это сумма всех ЭДС входящих в этот контур; со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС):
E11=E2=130 В
E22=E5+E6=120+180=300 В
E33=E6-E3=180-90=90 В
В полученную систему подставляем уже известные значения коэффициентов и решаем:
I11*54+I22*14-I33*24=130I11*14+I22*36+I33*12= 300-I11*24+I22*12+I33*56=90
Расчет системы производится методом Крамера при помощи определителей:
∆=5414-24143612-241256=54*36121256-14*1412-2456-24*1436-2412=
=54*36*56-12*12-14*14*56+24*12-
-24*14*12+24*36=101088-15008-24768=61312
∆=61312
∆1=13014-243003612901256=130*36121256-14*300129056-24*300369012=
=130*36*56-12*12-14*300*56-90*12-
-24*300*12-90*36=243360-220080-8640=14640
∆1=14640
∆2=54130-241430012-249056=54*300129056-130*1412-2456-
-24*14300-2490=54*300*56-12*90-130*14*56+24*12-
-24*14*90+24*300=848880-139360-203040=506480
∆2=506480
∆3=54141301436300-241290=54*363001290-14*14300-2490+
+130*1436-2412=54*36*90-12*300-14*14*90+24*300-
-130*14*12+24*36=-19440-118440+134160=-3720
∆3=-3720
Контурный ток I11:
I11=∆1∆
I11=1464061312=0,239
I11=0,239 А
Контурный ток I22:
I22=∆2∆
I22=50648061312=8,261
I22=8,261 А
Контурный ток I33:
I33=∆3∆
I33=-372061312=-0,061
I33=-0,061 А
Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит, в соответствии с принятыми (рис
. 3) положительными направлениями токов в ветвях.
I1=I11-I33=0,239--0,061 =0,3
I1=0,3 А
I2=I11=0,239
I2=0,239 А
I3=-I33=--0,061=0,061
I3=0,061 А
I4=I11+I22=0,239+8,261=8,5
I4=8,5 А
I5=I22=8,261
I5=8,261 А
I6=I22+I33=8,261-0,061=8,2
I6=8,2 А
Результаты расчетов, выполненных методом контурных токов:
I1=0,3 АI2=0,239 АI3=0,061 АI4=8,5 АI5=8,261 АI6=8,2 А
Для проверки правильности решения составляем баланс мощностей.
Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии.
Согласно закону сохранения энергии, мощность, вырабатываемая (генерируемая) источниками, должна быть полностью рассеяна на резисторах, то есть если расчет токов ветвей выполнен правильно, то должно выполняться равенство:
Pист=Pпотр
k±Ek*Ik=kI2k*Rk
Источники ЭДС E2;E3;E5 вырабатывают энергию, так как направления ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают и их записываем со знаком «+».
Мощность источников:
Pист=E2*I2+E3*I3+E5*I5+E6*I6
Pист=130*0,239+90*0,061+120*8,261+180*8,2=
=31,07+5,49+991,32+1476=2503,88
Pист=2503,88 Вт
Мощность потребителей:
Pпотр=I12*R1+I22*R2+I32*R3+I42*R4+I52*R5+I62*R6=
=0,3 2*24+0,2392*16+0,0612*20+8,52*14+8,2612*10+
+8,22*12=2,16+0,914+0,074+1011,5+682,441+806,88=2503,969
Pпотр=2503,969 Вт
Pист=2503,88 Вт≈Pпотр=2503,969 Вт
Относительная погрешность определения мощности:
δ=Pист-PпотрPист*100%
δ=2503,88-2503,9692503,88 *100%=-0,00004 %
δ=-0,00004 %
Погрешность исчисляется долями процента, что свидетельствует о высокой точности выполненного расчета.
3. Метод узловых потенциалов
Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.
Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа.
Принимаем потенциал узла d равным нулю (рис. 4).
φd=0
Рисунок 4 – Схема цепи для расчета методом узловых потенциалов
Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов относительно узлов a;b;c:
φa*Gaa+φb*Gab+φc*Gac=Iaaφa*Gba+φb*Gbb+φc*Gbc=Ibbφa*Gca+φb*Gcb+φc*Gcc=Icc
Выпишем и подсчитаем значения коэффициентов системы.
Учитываем, что:
проводимости Gaa;Gbb;Gcc – сумма проводимостей, сходящихся в узле (собственные проводимости), всегда берутся со знаком «+»;
проводимости Gab;Gac;Gba;Gbc;Gca;Gcb проводимости ветвей, соединяющих узлы (общие проводимости), всегда берутся со знаком «–»;
если источник ЭДС направлен к узлу, то узловые токи берем со знаком «+», в противном случае со знаком «–».
Собственная проводимость узла a:
Gaa=1R2+1R4+1R5=116+114+110=160+140+2242240=5242240=0,234
Gaa=0,234 См
Собственная проводимость узла b:
Gbb=1R4+1R1+1R6=114+124+112=288+168+3364032=7924032=0,196
Gbb=0,196 См
Собственная проводимость узла c:
Gcc=1R2+1R1+1R3=116+124+120=30+20+24480=74480=0,154
Gcc=0,154 См
Общая проводимость между узлами a и b:
Gab=Gba=-1R4=-114=-0,0714
Gab=Gba=-0,0714 См
Общая проводимость между узлами a и c:
Gac=Gca=-1R2=-116=-0,0625
Gac=Gca=-0,0625 См
Общая проводимость между узлами b и c:
Gbc=Gcb=-1R1=-124=-0,0417
Gbc=Gcb=-0,0417 См
Узловой ток для узла a:
Iaa=E2R2+E5R5=13016+12010=650+96080=161080=20,125
Iaa=20,125 А
Узловой ток для узла b:
Ibb=-E6R6=-18012=-15
Ibb=-15 А
Узловой ток для узла c:
Icc=-E2R2-E3R3=-13016-9020=-650+36080=-101080=-12,625
Icc=-12,625 А
Система уравнений после подстановки численных значений коэффициентов примет вид:
φa*0,234+φb*-0,0714 +φc*-0,0625=20,125φa*-0,0714 +φb*0,196+φc*-0,0417=-15φa*-0,0625+φb*-0,0417+φc*0,154=-12,625
φa*0,234-φb*0,0714-φc*0,0625=20,125 1 -φa*0,0714+φb*0,196-φc*0,0417=-15 2-φa*0,0625-φb*0,0417+φc*0,154=-12,625 3
Систему решим методом подстановки.
Из уравнения 1 выразим φa:
φa*0,234-φb*0,0714-φc*0,0625=20,125
φa*0,234=φb*0,0714+φc*0,0625+20,125
φa=φb*0,0714+φc*0,0625+20,1250,234
φa=φb*0,305+φc*0,267+86,004
Подставим φa в уравнение 2 и выразим φb:
-φa*0,0714+φb*0,196-φc*0,0417=-15
-φb*0,305+φc*0,267+86,004*0,071+φb*0,196-φc*0,042=
=-15
-φb*0,0218-φc*0,0191-6,141+φb*0,196-φc*0,0417=-15
φb*0,174-φc*0,0608=-8,859
φb*0,174=φc*0,0608-8,859
φb=φc*0,0608-8,8590,174=φc*0,349-50,914
φb=φc*0,349-50,914
φa=φc*0,349-50,914*0,305+φc*0,267+86,004
φa=φc*0,106-15,529+φc*0,267+86,004
φa=φc*0,373+70,475
Подставим φa и φb в уравнение 3:
-φc*0,373+70,475*0,0625-φc*0,349-50,914*0,0417+
+φc*0,154=-12,625
-φc*0,0233-4,405-φc*0,0146+2,123+φc*0,154=-12,625
φc*0,116=-10,343
φc=-88,787 В
φa=φc*0,373+70,475=-89,164*0,373+70,475=37,393
φa=37,393 В
φb=φc*0,349-50,914=-89,164*0,349-50,914=-81,6
φb=-81,6 В
Результаты расчета системы уравнений, следующие:
φa=37,393 Вφb=-81,6 Вφc=-88,787 В
Рассчитаем значения токов в ветвях по обобщенному закону Ома:
I1=φb-φcR1=-81,6 --88,787 24=0,299
I1=0,299 А
I2=φc+E2-φaR2=-88,787+130 -37,39316=0,239
I2=0,239 А
I3=φc+E3-φdR3=-88,787+90 -020=0,061
I3=0,061 А
I4=φa-φbR4=37,393--81,614=8,499
I4=8,499 А
I5=φd+E5-φaR5=0+120-37,39310=8,26
I5=8,26 А
I6=φb+E6-φdR6=-81,6+180-012=8,2
I6=8,2 А
Сравним результаты расчетов по двум методам:
I1=0,3 АI2=0,239 АI3=0,061 АI4=8,5 АI5=8,261 АI6=8,2 А Метод контурных токов
I1=0,299 АI2=0,239 АI3=0,061 АI4=8,499 АI5=8,26 АI6=8,2 А Метод узловых потенциалов
Результаты расчетов практически совпадают
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
