Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Для схемы на рисунке 1 выберем условно–положительные направления токов во всех ветвях, обозначим узлы, покажем условно–положительные направления обходов для независимых контуров (см. рис. 1.1).
35712401473835II
00II
27451052037715III
00III
1868805582295I
00I
Рисунок 1.1 – Расчетная схема
1. Схема на рисунке 1.1 содержит 4 узла (Nу=4) и 6 ветвей (Nв=6). Число уравнений по 1–му закону Кирхгофа равно Nу-1=4-1=3; по 2–му закону Кирхгофа число уравнений равно (справедливо для схем без источника тока) Nв-Nу-1=6-3=3. Запишем эти уравнения:
I2+I3+I4=0 -для узла a I1+I2-I5=0 -для узла b I4+I6-I1=0 -для узла c I1R1-I2R2+I4R4=E1+E4 -для контруа I I2R2+I5R5-I3R3=E5 -для контруа II I3R3+I6R6-I4R4=E6-E4 -для контруа III (1.1)
Решать систему уравнений (1.1) согласно заданию не требуется.
2. Выполним расчёт токов во всех ветвях методом контурных токов (МКТ). Контурные токи показаны на рисунке 1.2.
27512741969045I33
00I33
34969451413873I22
00I22
1891665446858I11
00I11
Рисунок 1.2 – Расчетная схема по МКТ
Число уравнений по МКТ при отсутствии в цепи источников тока равно Nв-Nу-1=6-4-1=3. Составим эти уравнения:
&(R1+R2+R4)I11-R2I22-R4I33=E1+E4&-R2I11+(R2+R3+R5)I22-R3I33=E5&-R4I11-R3I22+(R3+R4+R6)I33=E6-E4 (1.2)
Подставим числовые данные и определим коэффициенты в (1.2):
&35I11-12I22-8I33=165&-12I11+28I22-6I33=50&-8I11-6I22+28I33=45 (1.3)
Решим систему (1.3) с помощью ЭВМ и получим:
I11=8.12 А; I22=6.401 А; I33=5.299 А.
В соответствии с МКТ по рисунку 1.2 определим токи ветвей:
I1=I11=8.12 А;
I2=-I11+I22=-8.12+6.401=-1.719 А;
I3=I33-I22=5.299-6.401=-1.102 А;
I4=I11-I33=8.12-5.299=2.821 А;
I5=I22=6.401 А;
I6=I33=5.299 А.
Знак минус в значении тока указывает на то, что истинное направление его противоположно изначально (произвольно) выбранному.
3 . Проверим правильность решения по второму закону Кирхгофа, подставив найденный значения токов в уравнения 3–6 системы (1.1):
I1R1-I2R2+I4R4=E1+E4:
8.12·15-(-1.719)·12+2.821·8=90+75
164.996 В≈165 В
I2R2+I5R5-I3R3=E5:
-1.719·12+6.401·10-(-1.102)·6=50
49.994 В≈50 В
I3R3+I6R6-I4R4=E6-E4:
-1.102·6+5.299·14-2.821·8=120-75
45.006 В≈45 В
С учетом погрешности, возникающей при округлении результатов, при подстановке значений токов в уравнения по второму закону Кирхгофа получаем верные равенства, значит, токи рассчитаны верно.
4. Составим баланс мощностей:
Pист=Pпотр,
где Pист=I1E1+I4E4+I5E5+I6E6 – сумма мощностей источников,
Pист=8.12·90+2.821·75+6.401·50+5.299·120=1898 Вт;
Pпотр=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6 – сумма мощностей потребителей,
Pпотр=8.122·15+-1.7192·12+-1.1022·6+2.8212·8+
+6.4012·10+5.2992·14=1898 Вт.
Баланс мощностей в цепи выполняется, что подтверждает правильность расчетов.
5