Расчет линейной цепи при постоянных токах и напряжениях

Обозначим на заданной схеме узлы, условно-положительные направления токов в ветвях, независимые контура (рис.1.1.).
1. Составляем уравнения при помощи законов Кирхгофа
В схеме четыре узла (1, 2, 3,4), шесть ветвей, следовательно, для определения токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений для неизвестных токов и решить её. Число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть равно трем (количество узлов без единицы), а остальные три уравнения записываются по второму закону Кирхгофа для трех независимых контуров I, II, III. Например, если направление обхода выбрать по часовой стрелке, то система уравнений по законам Кирхгофа запишется как
-I1+I5-I6=0-для узла 1I1-I2+I3=0-для узла 2-I3-I4+I6=0-для узла 3-I5R5-I4R4-I6(R6+r3)=-E3-для контура II1(R1+r2)+I2R2+I5R5=E2-для контура II-I2R2-I3R3+I4R4=0-для контура III
После подстановки значений получим:
-I1+I5-I6=0I1-I2+I3=0-I3-I4+I6=0-8I5-10I4-14I6=-1106I1+4I2+7I5=220-4I2-3I3+10I4=0
2. Решаем методом контурных токов
Обозначаем на схеме контурные токи (I11, I22, I33) в контурах (рис.1.2), направления обхода контуров (например, по часовой стрелке) и составляем уравнения для имеющихся в схеме трех независимых контуров
Рис.1.2. Расчет методом контурных токов
Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:
I11R4+R5+R6+r3-I22R5-I33R4=-E3-I11R5+I22R1+R2+R5+r2-I33R2=E2-I11R4-I22R2+I33R2+R3+R4=0
После подстановки исходных данных имеем
I1110+8+6+1-8I22-10I33=-110-8I11+I225+3+8+2-3I33=220-10I11-3I22+I333+4+10=0
Упрощаем
25I11-8I22-10I33=-110-8I11+18I22-3I33=220-10I11-3I22+17I33=0
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Где из составленной выше системы уравнений собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=R4+R5+R6+r3=25 Ом; R22=R1+R2+R5+r2=18 Ом;R33=R2+R3+R4=17 Ом
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров, составляют:
R12=R21=-R5=-8 Ом;
R13=R31=-R4=-10 Ом;
R23=R32=-R2=-3 Ом
Находим
∆=25-8-10-818-3-10-317=25∙18∙17+-8∙-3∙-10+-8∙-3∙-10--10∙18∙-10--8∙-8∙17--3∙-3∙25=7650-240-240-1800-1088-225=4057
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнения
Находим контурные токи
I11=∆11∆=38504057=0,949 А
I22=∆22∆=532404057=13,123 А
I33=∆33∆=116604057=2,874 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I22=13,123 A
I2=I22-I33=13,123-2,874=10,249 A
I3=-I33=-2,874 A
I4=I33-I11=2,874-0,949=1,925 A
I5=I22-I11=13,123-0,949=12,174 A
I6=-I11=-0,949 A
Токи I3 и I6 получились отрицательными, значит в действительности они направлены противоположно их обозначенному направлению на рис.1.1.
3 . Решаем методом узловых потенциалов
Рис.1.3. Расчет методом узловых потенциалов
Потенциал узла 4 мысленно принимаем равным нулю. Тогда система уравнений, составленная по методу узловых потенциалов для данной цепи, в общем виде имеет вид:
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
Подсчитываем проводимости ветвей
g11=1R1+r2+1R5+1R6+r3=15+2+18+16+1=0,41071 См
g22=1R1+r2+1R2+1R3=15+2+13+14=0,72619 См
g33=1R3+1R4+1R6+r3=14+110+16+1=0,49286 См
g12=g21=-1R1+r2=-15+1=-0,14286 См
g13=g31=-1R6+r3=-16+1=-0,14286 См
g23=g32=-1R3=-13=-0,25 См
Определяем значения узловых токов:
J11=-E2R1+r2-E3R6+r3=-2205+2-1106+1=-47,14286 A
J22=E2R1+r2=2205+2=31,42857 A
J33=E3R6+r3=1106+1=15,71429 A
Подставляем полученные данные в составленную выше систему уравнений:
0,41071φ1-0,14286φ2-0,14286φ3=-47,14286-0,14286φ1+0,72619φ2-0,25φ3=31,42857-0,14286φ1-0,25φ2+0,49286φ3=15,71429
Решаем методом Крамера