Расчет балки на прочность при плоском изгибе

Изображаем расчётную схему балки в масштабе соответствии с исходными данными (рис. 2а)
Определяем опорные реакции
Составим два уравнения равновесия.
ΣМА = 0; ΣМА = -М - q(ℓ1+ ℓ2)(ℓ2 – (ℓ1+ ℓ2)/2) – Р1ℓ2 -- RВ(ℓ2 +ℓ3) = 0;
RВ = (-М + q(ℓ1+ ℓ2)(ℓ2 – (ℓ1+ ℓ2)/2) – Р1ℓ2)/( ℓ2 +ℓ3);
RВ = (-35 + 40*(2+ 5)(5 – (2+ 5)/2) – 45*5)/(5 + 2,5) = 21,33 кН;
ΣМB = 0; ΣМВ =- q(ℓ1+ ℓ2)( ℓ1+ ℓ2 +ℓ3 - (ℓ1+ ℓ2)/2) - М + Р(ℓ2+ ℓ3) + RA (ℓ2 +ℓ3 ) = 0;
RA = ( q(ℓ1+ ℓ2)( ℓ1+ ℓ2 +ℓ3 - (ℓ1+ ℓ2)/2) + М - Рℓ3)/(ℓ2 +ℓ3 );
RA = (40*(2+ 5)(2+ 5 +2,5 - (2 + 5)/2) + 35 - 45*2,5)/(5 +2,5 ) = 213,67 кН.
Проверка
ΣY = 0; ΣY = -7q + RА + Rв + Р = -7*40 +213.67 + 21.33 + 45= 280 – 280 = 0Опорные реакции определены верно.
Итак RА = 213.67 кН; RВ = 21.33 кННаносим значения опорных реакций на расчетную схему (рис. 2а).
2. Построение эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М , - строим эпюру поперечных сил Q:
разделим балку на 3 участка и запишем уравнения перерезывающих сил Q в сечении, расположенном на расстоянии z от левого конца балки, для каждого участка:
На I участке z = 0…2м
Q1 = --qz = -40z;
при при z = 2 м QА лев =-40*2 = -80 кН
на II участке z = 2…7 м
Q2 = --qz + RA = -40z + 213.67 кН;
при z = 2 м QА прав = -40*2 + 213,67 = 133,67 кН
при z = 7 м QЕ лев = - -40*7 + 213,67 = -66,33 кН
найдём координату z0 при которой Q2 =0
Q2 = -40z0 + 213.67 = 0; z0 = 213.67/40 = 5,34 м;
на III участке z = 7…9,5 м
Q3 = -7q + RA + Р= -7*40 + 213.67 + 45 = -21,33 кН = const;
QЕ прав = QВ = -21,33 кН.
Эпюра Q показана на рис. 2б.
- строим эпюру изгибающих моментов М:запишем уравнения изгибающих моментов для каждого участка,
На I участке z = 0…2 м М1 = -М + qz2/2 = -35 z2/2 =-35 - 40 z2/2 = -35 - 20 z2;при z = 0 МС = -35 кНмпри z = 2 м МА = -35 - 40 22/2-= 115 кНмна II участке z = 2…7 м
М2 = -М + qz2/2 + Ra (z - ℓ1) = -35 - 40 z2/2-+ 213,67(z - 2) = =-35 - 20z2+ 213,67(z - 2);
при z = 2, МА = -35 – 20*22+ 213,67(2 - 2) = -115 кНм; при z = 5,34 м М0 = -35 – 20*5,342+ 213,67(5,34 - 2) = 108,35 кНм;при z = 7 м МЕ = -35 – 20*72+ 213,67(7 - 2) = 53,35 кНм;на III участке z1 = 0…2,5 м (z1 – расстояние от правого конца балки до рассматриваемого сечения)
М3 =RВz = 21,33z;
92773588900000при z1 = 0, м М3 = 0; при z1 = 2,5 м М3 = 21,33*2,5 = 53,33 кНм;Эпюра М показана на рис. 2в.

Рис. 2
3. Подбор сечения балки из условия прочности по нормальным
напряжениям
Из эпюры М находим Ммакс = 115 кНм = 11500 кН*см
[σ] = 160 МПа = 16 кН/см2
Из сортамента (ГОСТ 8239-89) выбираем двутавр № 36 с Wх = 743 см3;
Iх = 13380 см4;t = 1.23 см;
Sх = 423см3;s = 0.75 см.
h =36 cм; b = 14,5 см;
площадь сечения А = 61,9 cм2
При этом фактические нормальные напряжения:
σmax =Мmax/Wx = 11500-106/(743*103) = 154,8 МП < [σ] = 160 МПа
Выбираем балку прямоугольного сечения с соотношением сторон h=2b:
Момент сопротивления балки прямоугольного сечения
Wx = bh2/6 = b(2b)2/6 = 2b3/3 ≥ 719 cм3: отсюда
b ≥ 33Wx2=33*7192 = 10.25 cм.
По ГОСТ 6636 – 69 (нормальные линейные размеры) принимаем b = 10,5 см, h = 2*10.5 = 21 cм; размер балки b х h = 10,5 х 21 см;
площадь сечения балки А = 10,5*21 = 290,5 cм2
Момент сопротивления балки Wx = bh2/6 = 10,5*212=772 см3
При этом фактические нормальные напряжения:
σmax =Мmax/Wx = 11500*106/(772*103) = 149 МП < [σ] = 160 МПа
Эпюра нормальных напряжений в сечении для двутавровой бплоки показана на рис. 3. Поскольку максимальный изгибающий момент отрицательный, то нижние волокна сжаты, а верхние растянуты.
231140-381000
Рис. 3
5. Проверка прочности балок по касательным напряжениям
Из эпюры Q (рис. 2б) видно, что максимальная поперечная сила равна
Qmax = 133,6 кН. действует в сечении А . Поэтому проверку по касательным напряжениям проведем при Qmax = 133,6 кН.
Величину максимальных касательных напряжений определяем по формуле Журавского.
Для двутавра
= 5,63*107 Па = 56,3 МПа.
τmax = 56,3 МПа < [τ] = 100 МПа.
Для балки прямоугольного сечения
Sx= (bh/2)*(h/4) = (0.105*0.21/2)*(21/4) = 0.00551 м3;
Ix = bh3/12 = 0.105*0.213/12 = 81*106 м4;
s = b/2 = 10.5/2 = 5.25 cм = 0,0525 м
по формуле Журавского:.

τmax = 86,5 МПа < [τ] = 100 МПа.
Для построения эпюры касательных напряжений для двутавровой балки в опасном сечении А определим касательные напряжения в точке К – точке перехода от стенке к полке двутавра.

Эпюра касательных напряжений в стенке двутавра приведена на рис. 3.
4. Запишем уравнения углов наклона касательной к изогнутой оси балки и уравнения прогибов для всех участков балки.
Начало координат помещаем на левый конец балки (в точку С), распределённую нагрузку q продлеваем до конца балки, компенсируя её на участке ЕВ нагрузкой такой же интенсивности противоположного направления (рис.2 а).
Уравнение прогиба для любого сечения балки с координатой z имеет вид:
у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1* (Σ Мi*(z –aM)2/2+ Σ Pi(z – ap)3/6 +Σqi(z – aq)4/24); где (1)
Θ0 и у0 – угол поворота сечения и прогиб в точке, куда помещено начало координат (точка С), Эти параметры являются начальными параметрами.
Делим балку на 3 участка, при этом уравнение (1) для каждого из участков будет иметь вид:
-для I участка z = 0…2м
у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1(-Мi z2/2 - qiz4/24); (2)
-для II участка z = 2…7 м
у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1(-Мz2/2 - qz4/24 + RA(z –aRA)3/6 (3)
-для III участка z = 7…9,5 у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1 (-Мz2/2 - qz4/24 +RA(z –aRA)3/6 + Р(z –aР)3/6 + +q(z – aq)4/24); (4)После подстановки числовых значений эти уравнения примут вид:
у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1(-35000z2/2 - 40000z4/24); или(2)
у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1(-17500z2 – 1666,67z4);(2а)
у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1(-17500z2 – 1666,67z4 + 213670(z –2)3/6) , или(3)
у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1(-17500z2 – 1666,67z4 + 35611,67(z –2)3), (3а)
у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1 (-17500z2 – 1666,67z4 +35611,67(z –2)3 + + 45000(z –7)3/6 +40000(z – 7)4/24); или (4)у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1 (-17500z2 – 1666,67z4 +35611,67(z –2)3 + + 7500(z –7)3 +1666,67(z – 7)4(4а)В уравнениях (2…4) силы выражены в Н, а расстояния в м.
Начальные параметры Θ0 и у0 определяем из граничных условий.
Граничные условия:
а) при z = 2 м у = уА = 0;
б) при z = 9,5 м у = уВ = 0.Так как опора А находится на 1 участке, то уравнение (2а) при z = 2 м примет вид:0 = у0 + 2*Θ0 + (EIx)-1(-17500*22 – 1666,67*24);
0 = у0 + 2*Θ0 + (EIx)-1(-96666,67); (5)
Так как опора В находится на 3 участке, то уравнение (4а) при z = 9,5 м примет вид:у = у0 + Θ0 z + (EIx)-1 (-17500z2 – 1666,67z4 +35611,67(z –2)3 + + 7500(z –7)3 +1666,67(z – 7)4(4а)у = у0 + 9,5Θ0 + (EIx)-1 (-17500*9,52 – 1666,67*9,54 +35611,67(9,5 –2)3 + + 7500(9,5 –7)3 +1666,67(9,5 – 7)4
0 = у0 + 9,5Θ0 + (EIx)-1*51484,375 (6);
Отдельно вычислим значение (EIx)-1
Для стали Е = 2*105 МПа;= 2*1011 Па
Для двутавра Iх= = 1,338*10-4 м4 ;
(EIx)-1 =(2*1011*1,338*10-4)-1= 3,737*10-8 Н*м2)-1 (7)
С учётом (7) выражение (5) примет вид:
0 = у0 + 2*Θ0 + 3,737*10-8:* (-96666,67);
0 = у0 + 2*Θ0 + 3,737*10-8:* (-96666,67);
0 = у0 + 2Θ0 – 0,003612;(8)
С учётом (7) выражение (6) примет вид:
0 = у0 + 9,5Θ0 +3,737*10-8*51484,375;
0 = у0 + 9,5Θ0 +0,001924(9);
27813025209500Итак имеем систему уравнений
0 = у0 + 2Θ0 – 0,003612;(8)
0 = у0 + 9,5Θ0 +0,001924(9);
Решая полученную систему уравнений, имеем
у0 = 0,00509м = 5,09 мм; Θ0 = -0,000738 рад
Таким образом сечение С сместится верх на 5,09 мм и повернётся на угол 0,000738 рад по часовой стрелке.
Для построения упругой линии балки (эпюры прогибов) в уравнения
(2а), (3а) и (4а) будем подставлять соответствующие значения z,
Запишем эти уравнения с учётом полученных значений у0 , Θ0:и (EIx)-1*
Из (2а) получим;
у = 0,00509 - 0,000738 z + 3,737*10-8 *(-17500z2 – 1666,67z4); (2а)
у = 0,00509 - 0,000738 z - 0,000654z2 – 0,00006228 z4; (10)
Из (3а) получим;
у = 0,00509 – 0,000738 z - 0,000654z2 – 0,00006228 z4 + 0,001331(z –2)3), (11)
Из (4а) получим;
у = у0 + Θ0 z + 3,737*10-8 (-17500z2 – 1666,67z4 +35611,67(z –2)3 + + 7500(z –7)3 +1666,67(z – 7)4(4а)у = 0,00509 – 0,000738 z – 0,000654z2 – 0,00006228z4 + +0,00131(z –2)3 + 0,00028(z –7)3 +0,00006228 (z – 7)4(12)Рассчитываем прогибы в различных сечениях балки:
Для расчёта прогибов на 1 участке используем уравнение (10)
у = 0,00509 - 0,000738 z - 0,000654z2 – 0,00006228 z4; (10)
При z =0.5 м у = 4,55 мм;
при z =1 м у = 3,64 мм;
при z =1,5 м у = 2,195 мм;
при z =2 м у = 0,00 мм;
Для расчёта прогибов на 2 участке используем уравнение (11)
у = 0,00509 – 0,000738 z - 0,000654z2 – 0,00006228 z4 + 0,001331(z –2)3),(11);
при z =2.5 м у = -3,11 мм;
при z =3 м у = -6,72 мм;
при z =3,5м у = -10,36 мм;
при z =4 м у = -13,63 мм;
при z =4,5 м у = -16,23 мм;
при z =5 м у = -17,97 мм;
при z =5,5 м у = -18,72 мм;
при z =6 м у = -18,47 мм;
при z =6,5 м у = -17,37 мм;
при z =7 м у = -15,41 мм;
Для расчёта прогибов на 3 участке используем уравнение (12)
у = 0,00509 – 0,000738 z – 0,000654z2 – 0,00006228z4 + +0,00131(z –2)3 + 0,00028(z –7)3 +0,00006228 (z – 7)4(12)при z =7,5 м у = -12,21 мм;
при z =8 м у = -9,93 мм;
при z =8,5м у = -6,75 мм;
при z =9 м у = --3,38 мм;
при z =9,5 м у = 0,00 мм;
Для расчёта углов поворота сечений используем уравнение
Θ =Θ0 + (EIx)-1(ΣМi*(z –aM) + Σ Pi(z – ap)2/2 +Σqi(z – aq)3/6); (13)_
Уравнение (13) для каждого из участков будет иметь вид:
-для I участка z = 0…2м
Θ = Θ0 + (EIx)-1(-М*z - qz3/6); (14)
-для II участка z = 2…7 м
Θ = Θ0 + (EIx)-1(-М z - qiz3/6) + RA(z –aRA)2/2 (15)
-для III участка z = 7…9,5 Θ = Θ0 + (EIx)-1(-М z - qiz3/6) + RA(z –aRA)2/2 + Р(z –aР)2/2 + +q(z – aq)3/6); (16)
Подставим числовые значения в уравнение (14) для I участка
Θ = Θ0 + (EIx)-1(-М*z - qz3/6); (14)
Θ = -0,000738 + (3,737*10-8)*(-35000*z - 40000z3/6);(14)
или – Θ1 = -0,000738 - 0,00131z – 0,000249z3;(14а)
по уравнению (14а) определяем углы поворота на 1 участке: при z =0.5 м Θ = -0,00142 рад;
при z =1 м Θ = -0,00230 рад;
при z =1,5 м Θ = -0,00354 рад;
при z =2 м Θ = -0,00535 рад;
Подставим числовые значения в уравнение (15) для II участка
Θ = Θ0 + (EIx)-1(-М z - qiz3/6) + RA(z –aRA)2/2 (15)
Θ = -0,000738 + (3,737*10-8)*( -35000*z - 40000z3/6 + +213670(z –2)2/2 , или(15)
Θ = -0,000738 - 0,00131z – 0,000249z3 +0,00399(z –2)2 (15а)
по уравнению (15а) определяем углы поворота на 2 участке: при z =2.5 м Θ = -0,00691 рад;
при z =3 м Θ = -0,00740 рад;
при z =3,5м Θ = -0,00702 рад;
при z =4 м Θ = -0,00595 рад;
при z =4,5 м Θ = -0,00439рад;
при z =5 м Θ = -0,0025 рад;
при z =5,5 м Θ = -0,000499 рад;
при z =6 м Θ = 0,00146 рад;
при z =6,5 м Θ = 0,00316 рад;
при z =7 м Θ = 0,00444 рад;
Подставим числовые значения в уравнение (16) для III участка
Θ = Θ0 + (EIx)-1(-М z - qiz3/6) + RA(z –aRA)2/2 + Р(z –aР)2/2 + +q(z – aq)3/6);(16)
Θ = -0,000738 + (3,737*10-8) (-35000 z - 40000iz3/6) + 216670(z –2)2/2 + +45000(z –7)2/2 + 40000(z – 7)3/6); или
Θ = -0,000738 - 0,00131z – 0,00249z3 +0,00399(z –2)2 + +0,000841(z –7)2 + 0,000249(z – 7)3;(16а)
по уравнению (16а) определяем углы поворота на III участке: при z =7,5 м Θ = 0,00536 рад;
при z =8 м Θ = 0,00606 рад;
при z =8,5м Θ = 0,00656 рад;
при z =9 м Θ = 0,00686 рад;
при z =9,5 м Θ = 0,00696 рад;
Определяем максимальный прогиб балки умакс
При у = умакс, угол поворота сечения Θ = 0;
Анализ показывает, что Θ = 0 при z = 5,623 м;
при z = 5,623 м; по (11) имеем у = умакс = -18,75 мм
Допускаемая величина прогиба [y] = АВ/300 = 7500/300 = 25 мм
Таким образом умакс = -18,75 мм < [y] =25 мм
Для консоли допускаемая величина прогиба [y] = АС/150 = 2000/150 = 13,3 мм
На консоли умакс = 5,09 мм (точка С)-
Таким образом для консоли умакс = -5,09 мм < [y] =13,3 мм
Прогибы балки не превышают допустимых пределов.
5