Расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи

Расчет переходного процесса классическим методом.
Рассчитываем электрическую цепь постоянного тока до коммутации (ключ разомкнут) с целью определения начальных условий (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2 – Цепь до коммутации
Момент t = 0–. Он соответствует стационарному состоянию цепи до коммутации. Резистор R2 отключен от цепи, значит i30-=0 А. Постоянный ток не проходит через конденсатор, поэтому имеем разрыв цепи:
i10-=i20-=0 А.
Напряжение на конденсаторе до коммутации:
uc0-=E-i20-∙R1=E=100 В.
Таким образом, независимые начальные условия имеют вид:
i10-=i10+=0 А,
uc0-=uc0+=100 В.
Расчет принужденных составляющих. Для их определения рассчитаем установившийся режим в цепи после коммутации (ключ замкнут), резистор R2 подключен к цепи.
Рисунок 3.3 – Цепь после коммутации
Так как емкостное сопротивление в цепи постоянного тока равно бесконечности, то имеем разрыв цепи и i2пр0+=0 А.
Тогда i1пр0+=i3пр0+=ER2=10015=6,667 А.
Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе:
ucпр0+=E-i2пр0+∙R1=100-0=100 В.
Определим свободные составляющие токов и напряжения на конденсаторе в момент времени t = 0+.
Так как полный ток через катушку индуктивности i10+=i1пр0++i1св0+, то i1св0+=i10+-i1пр0+=0-6,667=-6,667 А.
Для напряжения на конденсаторе uc0+=ucпр0++ucсв0+. Свободная составляющая в момент времени t = 0+ ucсв0+=uc0+-ucпр0+=100-100=0 В.
Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для свободных составляющих, описывающие электрическое состояние цепи в момент t = 0+.
i1св0+-i2св0+-i3св0+=0Ldi1св0+dt+i2св0+R1+ucсв0+=0i3св0+R2-ucсв0+-i2св0+R1=0 (1)
Из третьего уравнения выразим i3св0+=i2св0+R1R2 и подставим в первое уравнение системы:
i1св0+=i2св0++i2св0+R1R2.
Отсюда i2св0+=i1св0+1+R1R2=-6,6671+5015=-1,539 А.
Тогда i3св0+=-1,539∙5015=-5,13 А.
Из второго уравнения системы находим
di1св0+dt=-i2св0+R1L=-(-1,539)∙50300∙10-3=256,5 А/с.
Так как ducсв0+dt=i2св0+C, то ducсв0+dt=-1,539250∙10-6=-6156 В/с.
Чтобы найти di2св0+dt и di3св0+dt продифференцируем уравнения системы (1):
di1св0+dt=di2св0+dt+di3св0+dtdi3св0+dt∙R2-di2св0+dt∙R1=0,
Из второго уравнения di3св0+dt=R1R2di2св0+dt, подставим в первое уравнение:
di2св0+dt+R1R2di2св0+dt=di1св0+dt,
di2св0+dt=di1св0+dt∙11+R1R2=256,51+5015=59,192 А/с,
di3св0+dt=5015∙59,192=197,307 А/с.
Составляем характеристическое уравнение цепи после коммутации (рисунок 3.4).
Рисунок 3.4 – Схема для определения характеристического уравнения
С этой целью определяется сначала комплексное входное сопротивление цепи относительно зажимов внешнего источника энергии:
Zjω=jωL+R2∙(R1+1jωC)R2+R1+1jωC . (2)
Заменяем в выражении (2) jω на p получим:
Zp=pL+R2∙(R1+1pC)R2+R1+1pC=pCR2(R1pC+1)R2pC+R1pC+1pC+pL=pCR1R2+R2+p2LCR2+p2LCR1+pLpCR1+pCR2+1.
Приравниваем числитель к нулю, получим характеристическое уравнение
p2LCR2+p2LCR1+pCR1R2+pL+R2=0.
Подставим числовые значения:
p2∙300∙10-3∙250∙10-6(15+50)+p∙(250∙10-6∙50∙15+300∙10-3)+15=0;
0,004875p2+0,4875p+15=0.
Корни характеристического уравнения:
p1=-50+j24,02=55,47ej154,3° c-1;
p2=-50-j24,02=55,47e-j154,3° c-1.
Так как корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то свободную составляющую напряжения будем искать в виде:
i1свt=Ae-δtsin⁡(ω0t+ν),
где ω0 = 24,02 – угловая частота и δ = 50 – коэффициент затухания известны из решения характеристического уравнения.
Производная свободной составляющей:
Ae-δtsinω0t+ν'=-Aδe-δ∙tsinω0t+ν+Ae-δtω0cosω0t+ν.
Находим постоянные интегрирования.
Система уравнений для нахождения постоянных интегрирования тока i1свt
i1св0+=Ae-δ∙0sin⁡(ω0∙0+ν1)di1св0+dt=-Aδe-δ∙0sinω0∙0+ν1+Ae-δ∙0ω0cosω0∙0+ν1,
Asinν1=-6,667-50Asinν1+24,02Acosν1=256,5.
Из второго уравнения Acosν1=256,5-50∙6,66724,02=-3,199, A=-3,199cosν1.
Подставляем в первое уравнение:
-3,199tgν1=-6,667, tgν1=2,084. Отсюда ν1=64,4° и A=-7,403.
Таким образом, i1свt=-7,403e-50tsin⁡(24,02t+64,4°) А.
Аналитическое выражение тока через катушку индуктивности
i1t=6,667-7,403e-50tsin⁡(24,02t+64,4°) А.
Аналогично, находим постоянные интегрирования для тока i2свt.
i2св0+=Be-δ∙0sin⁡(ω0∙0+ν2)di2св0+dt=-Bδe-δ∙0sinω0∙0+ν2+Be-δ∙0ω0cosω0∙0+ν2,
Bsinν2=-1,539-50Bsinν2+24,02Bcosν2=59,192.
После решения системы получили постоянные интегрирования
B=3,556, ν2=-25,7°.
Аналитическое выражение тока i2t
i2t=3,556e-50tsin⁡(24,02t-25,7°) А.
Аналогично, находим постоянные интегрирования для тока i3свt.
i3св0+=Ce-δ∙0sin⁡(ω0∙0+ν3)di3св0+dt=-Cδe-δ∙0sinω0∙0+ν3+Ce-δ∙0ω0cosω0∙0+ν3,
Csinν3=-5,13-50Csinν3+24,02Ccosν3=197,307.
После решения системы получили постоянные интегрирования
C=-8,2, ν3=38,7°.
Аналитическое выражение тока i3t
i3t=6,667-8,2e-50tsin⁡(24,02t+38,7°) А.
Система уравнений для определения постоянных интегрирования напряжения на конденсаторе ucсвt:
ucсв0+=De-δ∙0sin⁡(ω0∙0+ν4)ducсв0+dt=-Dδe-δ∙0sinω0∙0+ν4+De-δ∙0ω0cosω0∙0+ν4,
Dsinν4=0-50Dsinν4+24,02Dcosν4=-6156.
После решения системы получили постоянные интегрирования
D=-256,286, ν4=0°.
Аналитическое выражение напряжения на конденсаторе uct
uct=100-256,286e-50tsin⁡(24,02t) В.
Операторный метод расчета тока через индуктивность.
Рассчитываем цепь в установившемся режиме до коммутации и определяем независимые начальные условия (см