Расчет фермы. Плоская ферма закреплена и нагружена в соответствии с заданной схемой

1. Освобождаем ферму от связей, заменив их реакциями опор. Составляем уравнение равновесия
∑FkX = 0XA + Q + F cos α – RB cos β = 0(1)
∑FkY = 0YA – P – F sin α – RB sin β = 0(2)
∑MA(Fk) = 0-2P – 3Q – 4F sin α – 8RB sin β = 0(3)
(3)-2 ∙ 10 – 3 ∙ 40 – 4 ∙ 6 sin40◦ - 8RB sin 30◦ = -20 – 120 – 14,16 – 4RB =
= 0RB = -38,54 кН
(1)XA + 40 + 6 cos 40◦ - (-38,54) cos 30◦ = XA + 40 + 4,86 + 33,38 = 0
XA = -78,24 кН
(2)YA – 10 – 6 sin 40◦ - (-38,54) sin 30◦ = YA – 10 – 3,54 + 19,27 = 0
YA = -5,73 кН
Проверка: ∑ME(Fk) = -3YA + 1P – 1F sin α – 5RB sin β + 3 (XA +
+ F cos α – RB cos β) = -3 (-5,73) + 1 ∙ 10 – 1 ∙ 6 sin 40◦ -
- 5 (-38,54) sin 30◦ + 3 (-78,24 + 6 cos 40◦ - (-38,54) cos 30◦) = 17,19 + 10 –
- 3,54 + 96,35 + 3 (-78,24 + 4,86 + 33,38) = -0,01 ≈ 0
2. Определяем характеристики углов
sin γ = 332+ 12 = 0,948
cos γ = 1- sin2γ = 0,316
sin θ = 112+ 22 = 0,447
cos θ = 1- sin2θ = 0,894
sin φ = 222+ (1+2)2 = 0,555
cos φ = 1- sin2φ = 0,832
3 . Метод узлов. Мысленно поочередно вырезаем узлы фермы, заменив отброшенную часть реакциями стержней. Стержни считаем растянутыми. Составляем уравнение равновесия для каждого узла.
Узел A
∑FkX = 0XA + S2 + S1 cos γ = 0
∑FkY = 0YA + S1 sin γ = 0
-5,73 + 0,948S1 = 0S1 = 6,04 кН
-78,24 + S2 + 6,04 ∙ 0,316 = 0S2 = 76,33 кН
Узел C
∑FkX = 0S4 + S3 cos γ – S1 cos γ = 0
∑FkY = 0-S3 sin γ – S1 sin γ = 0
sin γ ≠ 0-S3 – 6,04 = 0S3 = -6,04 кН
S4 + (-6,04 – 6,04) 0,316 = 0S4 = 3,82 кН
Узел D
∑FkX = 0S6 + S5 cos γ – S3 cos γ – S2 = 0
∑FkY = 0S5 sin γ + S3 sin γ – P = 0
(S5 + (-6,04)) 0,948 – 10 = 0,948S5 – 5,73 – 10 = 0S5 = 16,59 кН
S6 + (16,59 – (-6,04)) 0,316 – 76,33 = 0S6 = 69,18 кН
Узел E
∑FkX = 0Q + S8 cos φ + S7 cos γ – S5 cos γ – S4 = 0
∑FkY = 0-S8 sin φ – S7 sin γ – S5 sin γ = 0
40+0,832S8+0,316S7-16,59 ∙0,316-3,82=0-0,555S8-0,948S7-16,59 ∙0,948=0
0,832S8+0,316S7+30,94=0 -0,555S8-0,948S7-15,73=0
S8 + 0,38S7 + 37,19 = 0
-S8 – 1,71S7 – 28,34 = 0
-1,33S7 + 8,85 = 0S7 = 6,65 кН
S8 + 0,38 ∙ 6,65 + 37,19 = 0S8 = -39,72 кН
Узел G
∑FkX = 0S9 cos θ + S10 + F cos α – S7 cos γ – S6 = 0
∑FkY = 0S9 sin θ + S7 sin γ – F sin α = 0
0,447S9 + 6,65 ∙ 0,948 – 6 sin 40◦ = 0,447S9 + 6,3 – 3,54 = 0
S9 = -6,17 кН
-6,17 ∙ 0,894 + S10 + 6 cos 40◦ - 6,65 ∙ 0,316 – 69,18 = -5,52 + S10 + 4,86 –
- 2,1 – 69,18 = 0S10 = 71,94 кН
Узел H
∑FkX = 0S11 cos θ – S8 cos φ – S9 cos θ = 0
0,894S11 – (-39,72) 0,832 – (-6,17) 0,894 = 0,894S11 + 33,05 + 5,52 = 0
S11 = -43,14 кН
Узел B (проверка)
∑FkX = -S11 cos θ – S10 – RB cos β = -(-43,14) 0,894 – 71,94 –
- (-38,54) cos 30◦ = 38,56 – 71,94 + 33,38 = -0,004 ≈ 0
∑FkY = S11 sin θ - RB sin β = -43,14 ∙ 0,447 – (-38,54) 0,5 = -19,28 + 19,27 =
= -0,01 ≈ 0
4