Пусть двумерная случайная величина (X Y) – генеральная совокупность

Составим группированный ряд для величины X. Для этого определим наибольшее xmax=85.8 и наименьшее xmin=54.0 значения величины X, встречающееся в выборке. Вычислим размах Rx=xmax-xmin=85.8-54.0=31.8.
Весь промежуток 54.0;85.8 изменения выборочных данных величины X разобьём на r=7 интервалов. Тогда шаг разбиения
hx=Rxr=31.87≈4.543
Чтобы шаг разбиения был удобным, возьмём его равным hx=5. Тогда расширение промежутка разбиения составит 5-4.543∙7≈3.2.
Для определения границ интервалов ai-1, ai, i=1,…,7, сдвинем начало первого интервала в точку a0=54.0-1=53. Остальные границы определяются так: ai=ai-1+hx, i=1,…,7.
Затем для каждого -го интервала ai-1, ai определим его середину xi* по формуле
xi*=ai-1+ai2
Найдем частоты ni – количество выборочных значений X, попавших в -ый интервал. Вычислим относительные частоты ni/n, накопленные относительные частоты, плотности относительных частот ni/(nhx).
Результаты группировки для X сведём в таблицу:
i
ai-1;ai
xi*
ni
nin
j=1injn
ninhx
1 53 58 55,5 3 0,06 0,06 0,012
2 58 63 60,5 3 0,06 0,12 0,012
3 63 68 65,5 3 0,06 0,18 0,012
4 68 73 70,5 14 0,28 0,46 0,056
5 73 78 75,5 14 0,28 0,74 0,056
6 78 83 80,5 11 0,22 0,96 0,044
7 83 88 85,5 2 0,04 1 0,008
Используя полученные результаты для xi* и nin, построим полигон относительных частот:
Используя полученные результаты для xi* и ninhx, построим гистограмму относительных частот:
Используя полученные результаты для xi* и накопленных относительных частот, построим график эмпирической функции распределения:
Аналогичную обработку проведем для выборки Y.
ymin=147;ymax=193;Ry=193-147=46
Число интервалов r=7, длина интервала
hy=Ryr=467=6.571
Округляя, положим hy=7 . Тогда расширение промежутка разбиения составит 7-6.571∙7≈3.0.
В качестве начала первого интервала примем a0=147-1=146. Рассчитаем границы интервалов. Затем для каждого -го интервала ai-1, ai определим его середину yi* по формуле
yi*=ai-1+ai2
Найдем частоты ni – количество выборочных значений Y, попавших в -ый интервал. Вычислим относительные частоты ni/n, накопленные относительные частоты, плотности относительных частот ni/(nhy).
Результаты группировки для Y сведём в таблицу:
i
ai-1;ai
yi*
ni
nin
j=1injn
ninhx
1 146 153 149,5 1 0,02 0,02 0,004
2 153 160 156,5 3 0,06 0,08 0,012
3 160 167 163,5 11 0,22 0,3 0,044
4 167 174 170,5 14 0,28 0,58 0,056
5 174 181 177,5 9 0,18 0,76 0,036
6 181 188 184,5 9 0,18 0,94 0,036
7 188 195 191,5 3 0,06 1 0,012
Используя полученные результаты для yi* и nin, построим полигон относительных частот:
Используя полученные результаты для yi* и ninhy, построим гистограмму относительных частот:
Используя полученные результаты для xi* и накопленных относительных частот, построим график эмпирической функции распределения:

2. Точечные оценки вычислим по группированным данным (см. таблицы 2 и 3). Для удобства вычислений перейдём к условным вариантам:
ui=xi*-70,55 ; vi=yi*-170,57
Составим таблицу 4:
Таблица 4
Номер
   
ui
   
ni
   
uini
   
ui2ni
   
vi
   
mi
   
vimi
   
vi2mi
1 -3 3 -9 27 -3 1 -3 9
2 -2 3 -6 12 -2 3 -6 12
3 -1 3 -3 3 -1 11 -11 11
4 0 14 0 0 0 14 0 0
5 1 14 14 14 1 9 9 9
6 2 11 22 44 2 9 18 36
7 3 2 6 18 3 3 9 27
– 50 24 118 - 50 16 104
Вначале вычислим
u=1nuini=2450=0,48 ; v=1nvimi=1650=0,32
su2=nn-11nui2ni-(u)2=5050-1150∙118-(0,48)2=2,17; su≈1,47
sv2=nn-11nvi2mi-(v)2=5050-1150∙104-(0,32)2=2,02; sv≈1,42
Искомые оценки:
x=5u+70,5=72,9; y=7v+170,5=172,74
sx2=25∙su2=54,3; sy2=49∙sv2=98,9
sx=54,3=7,37; sy=98,8=9,94
3