Пусть двумерная случайная величина (X, Y) – генеральная совокупность, где X – вес (в килограммах), а Y – рост (в сантиметрах) случайно взятого человека. В качестве исходных данных студенту предлагается выборка объёмом n=50 из генеральной совокупности (X, Y) согласно номеру варианта.
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
xi
yi
74,1 173 75,1 169 70,7 170 69,3 170 72,9 177
78,8 182 85,7 193 79,3 177 69,0 175 55,9 147
73,3 173 80,7 186 70,5 165 78,5 182 76,7 188
78,9 180 75,1 167 68,6 170 70,7 174 69,9 171
78,8 187 68,4 166 66,3 155 56,8 159 72,1 174
61,5 163 64,9 161 72,9 182 62,5 163 76,5 174
75,1 174 70,3 163 73,2 171 74,3 176 81,2 188
62,1 163 54,0 154 69,2 167 73,1 179 79,1 174
85,8 190 73,6 179 73,3 175 72,9 163 66,3 162
76,2 174 81,4 188 82,8 190 76,8 177 79,0 184
Для величин X и Y составить группированные ряды. На основании этих рядов построить полигоны, гистограммы относительных частот и графики эмпирических функций распределения для X и Y.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Составим группированный ряд для величины X. Для этого определим наибольшее xmax=85.8 и наименьшее xmin=54.0 значения величины X, встречающееся в выборке. Вычислим размах Rx=xmax-xmin=85.8-54.0=31.8.
Весь промежуток 54.0;85.8 изменения выборочных данных величины X разобьём на r=7 интервалов. Тогда шаг разбиения
hx=Rxr=31.87≈4.543
Чтобы шаг разбиения был удобным, возьмём его равным hx=5. Тогда расширение промежутка разбиения составит 5-4.543∙7≈3.2.
Для определения границ интервалов ai-1, ai, i=1,…,7, сдвинем начало первого интервала в точку a0=54.0-1=53. Остальные границы определяются так: ai=ai-1+hx, i=1,…,7.
Затем для каждого -го интервала ai-1, ai определим его середину xi* по формуле
xi*=ai-1+ai2
Найдем частоты ni – количество выборочных значений X, попавших в -ый интервал. Вычислим относительные частоты ni/n, накопленные относительные частоты, плотности относительных частот ni/(nhx).
Результаты группировки для X сведём в таблицу:
i
ai-1;ai
xi*
ni
nin
j=1injn
ninhx
1 53 58 55,5 3 0,06 0,06 0,012
2 58 63 60,5 3 0,06 0,12 0,012
3 63 68 65,5 3 0,06 0,18 0,012
4 68 73 70,5 14 0,28 0,46 0,056
5 73 78 75,5 14 0,28 0,74 0,056
6 78 83 80,5 11 0,22 0,96 0,044
7 83 88 85,5 2 0,04 1 0,008
Используя полученные результаты для xi* и nin, построим полигон относительных частот:
Используя полученные результаты для xi* и ninhx, построим гистограмму относительных частот:
Используя полученные результаты для xi* и накопленных относительных частот, построим график эмпирической функции распределения:
Аналогичную обработку проведем для выборки Y.
ymin=147;ymax=193;Ry=193-147=46
Число интервалов r=7, длина интервала
hy=Ryr=467=6.571
Округляя, положим hy=7
. Тогда расширение промежутка разбиения составит 7-6.571∙7≈3.0.
В качестве начала первого интервала примем a0=147-1=146. Рассчитаем границы интервалов. Затем для каждого -го интервала ai-1, ai определим его середину yi* по формуле
yi*=ai-1+ai2
Найдем частоты ni – количество выборочных значений Y, попавших в -ый интервал. Вычислим относительные частоты ni/n, накопленные относительные частоты, плотности относительных частот ni/(nhy).
Результаты группировки для Y сведём в таблицу:
i
ai-1;ai
yi*
ni
nin
j=1injn
ninhx
1 146 153 149,5 1 0,02 0,02 0,004
2 153 160 156,5 3 0,06 0,08 0,012
3 160 167 163,5 11 0,22 0,3 0,044
4 167 174 170,5 14 0,28 0,58 0,056
5 174 181 177,5 9 0,18 0,76 0,036
6 181 188 184,5 9 0,18 0,94 0,036
7 188 195 191,5 3 0,06 1 0,012
Используя полученные результаты для yi* и nin, построим полигон относительных частот:
Используя полученные результаты для yi* и ninhy, построим гистограмму относительных частот:
Используя полученные результаты для xi* и накопленных относительных частот, построим график эмпирической функции распределения:
2. Точечные оценки вычислим по группированным данным (см. таблицы 2 и 3). Для удобства вычислений перейдём к условным вариантам:
ui=xi*-70,55 ; vi=yi*-170,57
Составим таблицу 4:
Таблица 4
Номер
ui
ni
uini
ui2ni
vi
mi
vimi
vi2mi
1 -3 3 -9 27 -3 1 -3 9
2 -2 3 -6 12 -2 3 -6 12
3 -1 3 -3 3 -1 11 -11 11
4 0 14 0 0 0 14 0 0
5 1 14 14 14 1 9 9 9
6 2 11 22 44 2 9 18 36
7 3 2 6 18 3 3 9 27
– 50 24 118 - 50 16 104
Вначале вычислим
u=1nuini=2450=0,48 ; v=1nvimi=1650=0,32
su2=nn-11nui2ni-(u)2=5050-1150∙118-(0,48)2=2,17; su≈1,47
sv2=nn-11nvi2mi-(v)2=5050-1150∙104-(0,32)2=2,02; sv≈1,42
Искомые оценки:
x=5u+70,5=72,9; y=7v+170,5=172,74
sx2=25∙su2=54,3; sy2=49∙sv2=98,9
sx=54,3=7,37; sy=98,8=9,94
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
