Пусть L1 – линейная оболочка строк x1, x2, x3, L2 – линейная оболочка строк y1, y2, y3. Найти размерность и какой-либо базис алгебраической суммы подпространства L1 и L2, а также размерность их пересечения.
x1=1,1,1,1
x2=1,1,-1,-1
x3=1,-1,1,-1
y1=1,-1,-1,1
y2=2,-2,0,0
y3=3,-1,1,1
Решение
Найдем базис и размерность подпространства L1. Для этого приведем матрицу, составленную из строк x1, x2, x3 к лестничному виду:
111 11-1 1-11 1-1-1~011 01-1 -2-11 -2-1-1~001 0-2-1 -221 -20-1~100 -1-20 12-2 -10-2
Выделенный минор имеет наивысший порядок и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно, размерность равна dimL1=3.
Найдем базис и размерность подпространства L2. Для этого приведем матрицу, составленную из строк y1, y2, y3 к лестничному виду:
123 -1-2-1 -101 101~023 0-2-1 201 -201~003 04-1 221 -221~003 04-1 221 -221
Выделенный минор имеет наивысший порядок и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно, размерность равна dimL2=3.
Найдем базис и размерность подпространства L1∩L2
. По определению пересечения всякий вектор из L1∩L2 имеет вид:
z=λ1x1+λ2x2+λ3x3=μ1y1+μ2y2+μ3y3
Таким образом,
λ11,1,1,1+λ21,1,-1,-1+λ31,-1,1,-1=μ11,-1,-1,1+μ22,-2,0,0+μ33,-1,1,1
или
λ1+λ2+λ3;λ1+λ2-λ3;λ1-λ2+λ3;λ1-λ2-λ3=μ1+2μ2+3μ3;-μ1-2μ2-μ3;-μ1+μ3;μ1+μ3
Откуда получаем систему уравнений:
λ1+λ2+λ3=μ1+2μ2+3μ3λ1+λ2-λ3=-μ1-2μ2-μ3λ1-λ2+λ3=-μ1+μ3λ1-λ2-λ3=μ1+μ3
или
λ1+λ2+λ3-μ1-2μ2-3μ3=0λ1+λ2-λ3+μ1+2μ2+μ3=0λ1-λ2+λ3+μ1-μ3=0λ1-λ2-λ3-μ1-μ3=0
Приводим систему к лестничному виду:
1111 11-1-1 1-11-1 -111-1 -2200 -31-1-10000~1000 10-20 1-22-2 -120-2 -24-20 -34-200000~
~1000 1-200 102-2 -12-2-2 -22-40 -32-400000~1000 1-200 1020 -12-2-4 -22-4-4 -32-4-40000~1000 1100 1010 -1-1-11 -2-1-21 -3-1-210000
Теперь исходную систему можно записать так:
λ1=-λ2-λ3+μ1+2μ2+3μ3λ2=μ1+μ2+μ3λ3=μ1+2μ2+2μ3μ1=-μ2-μ3
Необходимо переменные μ2 и μ3 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
λ1=2μ2+3μ3λ2=0λ3=μ2+μ3μ1=-μ2-μ3
Тогда всякий вектор z∈L1∩L2 имеет вид:
z=2μ2+3μ31,1,1,1+μ2+μ31,-1,1,-1=
=2μ21,1,1,1+3μ31,1,1,1+μ21,-1,1,-1+μ31,-1,1,-1=
=μ22,2,2,2+μ21,-1,1,-1+μ33,3,3,3+μ31,-1,1,-1=
=μ22+1;2-1;2+1;2-1+μ33+1;3-1;3+1;3-1=
=μ23;1;3;1+μ34;2;4;2
То есть вектора 3;1;3;1 и 4;2;4;2 составляют базис подпространства L1∩L2, так что dimL1∩L2=2.
По определению суммы подпространства всякий вектор суммы L1+L2 имеет вид t=z1+z2, где z1∈L1=Lx1;x2;x3, z2∈L2=Ly1;y2;y3, и потому t=a1x1+a2x2+a3x3+a4y1+a5y2+a6y3, то есть L1+L2 есть линейная оболочка системы векторов x1;x2;x3;y1;y2;y3.
Поэтому чтобы найти базис L1+L2, нужно выделить в этой системе базис.
Составляя и преобразуя матрицу со строками x1;x2;x3;y1;y2;y3 имеем:
111123 11-1-1-2-1 1-11-101 1-1-1101~000023 0-200-2-1 -22-2201 -202-201~00023 0-20-2-1 -22201 -20-201~00003 0-204-1 -22221 -20-221~
~00003 00-24-1 -22221 -2-2021~00003 0004-1 -22621 -2-2221~00003 0004-1 02521 -4-2221~00003 0004-1 00621 -48221~0003 004-1 0621 8221
Отсюда заключаем, что система векторов x2;y1;y2;y3 является одним из базисов подпространства L1+L2, так что dimL1+L2=4.
Проверка: dimL1+dimL2-dimL1∩L2=3+3-2=6-2=4=dimL1+L2.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
