Прямая и плоскость в пространстве. Заданы координаты четырех точек в пространстве

Находим координаты векторов А1А2 ,А1А3
А1А2=4-4;7-1;3-2=0;6;-1
А1А3=4-3;-7-1;-1-2=-1;-8;-3
Площадь треугольника А1А2А3 вычислим по формуле
S∆А1А2А3=12А1А2 ×А1А3 .
Поскольку
А1А2 ×А1А3 =ijk061-1-8-32=i-18+8-j0+1+k0+6=
=-10i-j+6k=-10;-1;6.
Поэтому площадь треугольника равна
S∆А1А2А3=12A1A2×A1A3=12-102+-12+62=12100+1+36=
=12137≈5,85ед2.
2.Для того чтобы найти уравнение плоскости A1A2A3 , воспользуемся формулой для плоскости, проходящей через три точки:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0.
Поставим сюда координаты точек A1,A2и A3:
x-4y-1z-24-47-13-23-4-7-1-1-2=x-4y-1z-2061-1-8-3=0 .
Вычислим этот определитель, разлагая его по первой строке:
x-461-8-3-y-101-1-3+z-206-1-8=
=x-4∙-10-y-1∙1+z-2∙6=0
Раскрывая скобки и приравнивая нулю полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:
-10x-y+6z+29=0.
3