Провести полную обработку экспериментальных данных по заданной выборке объема n, взятой из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины с заданной доверительной вероятностью γ=0,9:
15,28; 15,31; 15,23; 15,35; 15,32; 15,36; 15,33; 15,31; 15,26; 15,21; 15,31; 15,38; 15,34; 15,25; 15,28; 15,39; 15,27; 15,32; 15,39; 15,30; 15,24; 15,32; 15,26; 15,35; 15,32; 15,31; 15,29; 15,28; 15,33; 15,36.
а). Найти вариационный ряд, полигон частот.
б) Составить интервальную таблицу по данным выборки (взять 7-10 интервалов), построить гистограмму частот.
в) Методом условных вариант найти выборочное среднее и выборочную дисперсию s2:
X=1ni=1nxi, s2=1n-1i=1n(xi-X)2
г). Найти доверительный интервал для m=M[x]:
в случае известной σ (σ=s),
в случае неизвестной σ.
д) Найти доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения σ=D[x].
Решение
Найти вариационный ряд, полигон частот.
Объем выборки n=30
Для построения вариационного ряда занесем в первый столбец таблицы неповторяющиеся значения случайной величины xi (в порядке неубывания), а во второй – частоту ni их повторений в выборке (табл. 1).
Контроль: ni=n=30.
Табл. 1. Вариационный ряд
xi
ni
15,21 1
15,23 1
15,24 1
15,25 1
15,26 2
15,27 1
15,28 3
15,29 1
15,3 1
15,31 4
15,32 4
15,33 2
15,34 1
15,35 2
15,36 2
15,38 1
15,39 2
Полигон частот – это ломаная, соединяющая соседние точки xi;ni (рис. 1).
Рис. 1. Полигон частот
Составить интервальную таблицу по данным выборки (взять 7–10 интервалов), построить гистограмму частот.
Минимальное и максимальное значения случайной величины равны:
xmin=15,21, xmax=15,39
Размах выборки:
R=xmax-xmin=15,39-15,21=0,18
Если будем составлять интервальный ряд из 9 интервалов, то размер интервала равен:
h=0,189=0,02
Разобьем диапазон, содержащий все значения случайной величины из исходной выборки: [15,21;15,39], на 9 интервалов длиной 0,02.
Получим следующее интервальный ряд распределения (табл. 2).
Табл. 2. Интервальный ряд распределения
интервал 15,21..15,23 15,23..15,25 15,25..15,27 15,27..15,29 15,29..15,31 15,31..15,33 15,33..15,35 15,35..15,37 15,37..15,39
частота 1 2 3 4 2 8 3 4 3
Найдем относительные частоты по формуле: wi=nin, n=ni=30.
Затем найдем плотности относительных частот: wih, h – длина интервала, h=0,02.
Результаты сведем в таблицу 3:
номер интервала
i
интервал
xi-xi+1
сумма частот вариант интервала
ni
относительные частоты
wi=nin
плотности относительных частот
wih
1 15,21..15,23 1 0,033 1,667
2 15,23..15,25 2 0,067 3,333
3 15,25..15,27 3 0,100 5,000
4 15,27..15,29 4 0,133 6,667
5 15,29..15,31 2 0,067 3,333
6 15,31..15,33 8 0,267 13,333
7 15,33..15,35 3 0,100 5,000
8 15,35..15,37 4 0,133 6,667
9 15,37..15,39 3 0,100 5,000
Построим гистограмму относительных частот
. Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы, а по оси ординат откладываем плотности относительных частот.
Рис. 2. Гистограмма относительных частот
Методом условных вариант найти выборочное среднее x и выборочную дисперсию s2.
Перейдем к серединам xi* частичных интервалов [xi,xi+1]. Получим следующее распределение (табл. 4).
Табл. 4. Переход к серединам частичных интервалов
интервал 15,21..15,23 15,23..15,25 15,25..15,27 15,27..15,29 15,29..15,31 15,31..15,33 15,33..15,35 15,35..15,37 15,37..15,39
xi*
15,22 15,24 15,26 15,28 15,30 15,32 15,34 15,36 15,38
частота 1 2 3 4 2 8 3 4 3
Перейдем к условным вариантам: , где С – ложный нуль; h – шаг, т.е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами.
В качестве ложного нуля возьмем C=15,30 – это значение расположено в середине ряда.
Тогда:
u1=15,22-15,300,02=-4
Подобным образом, получим остальные значения условных вариант:
u2=15,24-15,300,02=-3
u3=15,26-15,300,02=-2
u4=15,28-15,300,02=-1
u5=15,30-15,300,02=0
u6=15,32-15,300,02=1
u7=15,34-15,300,02=2
u8=15,36-15,300,02=3
u9=15,38-15,300,02=4
Табл
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
