Провести исследование функции и выделить интервалы изоляции корня. На выбранном интервале уточнить корень с точностью 𝜀 = 10−4 используя метод половинного деления, хорд, Ньютона и итераций.
x-cosx=0
Решение
Fx=x-cosx
Область определения функции: (0;+∞)
Найдем производную: f'x= 12x+sin(x), производная не имеет действительных корней и не существует при x=0.
Составим таблицу знаков функции:
x
0 +ꚙ
sign f(x) - +
Уравнение имеет действительный корень на промежутке [0,+ꚙ), т.к. происходит смена знака функции. Уменьшим промежуток, содержащий корень.
x
0.5 1
sign f(x) - +
Интервал изоляции корня [0.5;1]
Уточним корень на отрезке [0.5;1] методом половинного деления с точностью
𝜀 = 10−4.
Разделим отрезок [a,b] пополам точкой c=(a+b)/2. Если f(c)=0, то точка c является корнем уравнения. Если f(c) ≠ 0, то из получившихся отрезков [a,c] и [c,b] выбираем тот, на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Продолжаем эти действия пока не будет достигнута точность
bn-an=<2ε=0.0002
a0=0.5, b0=1,c0=0.75, fa0=-0.17, fb0=0,46, fc0=0.13
b0-a0=1-0.5>0.0002
a1=0.5, b1=0.75
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
n a
b
c=(a+b)/2 f(a) f(b) f(c) |a-b|
0 0,50000 1,00000 0,75000 -0,17048 0,45970 0,13434 0,50000
1 0,50000 0,75000 0,62500 -0,17048 0,13434 -0,02039 0,25000
2 0,62500 0,75000 0,68750 -0,02039 0,13434 0,05632 0,12500
3 0,62500 0,68750 0,65625 -0,02039 0,05632 0,01781 0,06250
4 0,62500 0,65625 0,64063 -0,02039 0,01781 -0,00133 0,03125
5 0,64063 0,65625 0,64844 -0,00133 0,01781 0,00823 0,01563
6 0,64063 0,64844 0,64453 -0,00133 0,00823 0,00345 0,00781
7 0,64063 0,64453 0,64258 -0,00133 0,00345 0,00106 0,00391
8 0,64063 0,64258 0,64160 -0,00133 0,00106 -0,00014 0,00195
9 0,64160 0,64258 0,64209 -0,00014 0,00106 0,00046 0,00098
10 0,64160 0,64209 0,64185 -0,00014 0,00046 0,00016 0,00049
11 0,64160 0,64185 0,64172 -0,00014 0,00016 0,00001 0,00024
12 0,64160 0,64172 0,64166 -0,00014 0,00001 -0,00006 0,00012
|b12-a12|=0.64172-0.6416<0.0002
x=c12≈0.6417
Уточним корень на отрезке [0.5;1] методом хорд с точностью 𝜀 = 10−4.
fx=x-cosx
f'x= 12x+sin(x)
f''(x)=- 14x3/2+cos(x)
f0.5f''0.5>0, тогда неподвижный конец отрезка a=0.5, x0=b0=1
Формула метода хорд будет следующая:
bn+1=bn-an-bnf(an)-f(bn)f(bn)
bn+1-bn<ε=0.0001
x1=1-0,5-1-0.17-0.460.46=0.6353
n
a
b=xn f(a) f(xn) |xn+1 - xn|
0 0,5 1 -0,170 0,460
1 0,5 0,63526 -0,170 -0,008 0,364739
2 0,5 0,64182 -0,170 0,000 0,006559
3 0,5 0,64171 -0,170 0,000 0,000107
4 0,5 0,64171 -0,170 0,000 0,000002
|x4-x3|=0.000002<0.0001
x=x4≈0.6417
Уточним корень на отрезке [0.5;1] методом Ньютона с точностью 𝜀 = 10−4.
f0.5f''0.5>0, в качестве начального приближения возьмем x0=0,5
Формула метода Ньютона:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
xn+1-xn<ε
x1=x0-fx0f'x0=0,5--0,17051,1865=0,6437
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
n
xn
f(xn) f'(xn) |xn+1-xn|
0 0,50000 -0,17048 1,18653
1 0,64368 0,00240 1,22335 0,14368
2 0,64171 0,00000 1,22273 0,00196
3 0,64171 0,00000 1,22273 0,0000005
x3-x2<0.0001
x=x3≈0.6417
Уточним корень на отрезке [0.5;1] методом итераций с точностью 𝜀 = 10−4.
Приведем уравнение к виду, пригодному для метода итерации:
φx=x-f(x)N, где N≥M2, M=maxf'x, N имеет тот же знак, что и f'x на отрезке [0.5;1]
f'x= 12x+sin(x)
M=max[0.5;1]f'1=1,341 , производная положительна
Пусть N=1, φx=x-(x-cosx)
Проверим условия сходимости итерационного процесса
φ'(x)=1-( 12x+sinx)
φ'(0)≤q=0.863<1 на отрезке [0.5;1], условие сходимости выполняется
xn+1=φxn=xn-(xn-cosxn)
Вычислим x1
x1=φx0=x0-(x0-cosx0)=0.5403
ε(1-q)q=0.0001∙(1-0.863)0.863=0.000016
|x1-x0|=0.5403-1=0.4597>0.000016
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
n
xn
ϕ(xn) |xn+1 - xn|
0 0,500000 0,670476
1 0,670476 0,635176 0,17048
2 0,635176 0,643164 0,03530
3 0,643164 0,641391 0,00799
4 0,641391 0,641786 0,00177
5 0,641786 0,641698 0,00040
6 0,641698 0,641718 0,00009
7 0,641718 0,641714 0,00002
8 0,641714 0,641715 0,000004
|x8-x7|=0.641714-0.641718<0.000016
x=x8≈0.6417
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
