Провести полное исследование функций и построить их графики

Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя.
4-x3=0→-x3=-4→x=34
Исключаем единственную точку x=34 из области определения функции и получаем:
Dy=(-∞; 34)∪(34; +∞).
2) Исследуем функцию в окрестностях точки разрыва. Найдем односторонние пределы:
limx→34-0y=limx→34-010x24-x3=-∞; limx→34+0y=limx→34+010x24-x3=+∞
Так как пределы равны бесконечности, точка x=34 является разрывом второго рода, прямая x=34 – вертикальная асимптота.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат Oy, для чего приравниваем x=0:
y=10*024-03=04=0
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты: (0; 0).
Найдем точки пересечения с осью абсцисс Ox, для чего положим y=0:
10x24-x3=0→x=0
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты: (0; 0).
4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:
y-x=10*(-x)24-(-x)3=10*x24-(-x)3=-10*x2x3-4;y-x≠yx;y-x≠-y(x)
5) Исследуем функцию на периодичность . Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.
6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:
y'=10x24-x3'=10x24-x3'=104-x3x2'-x2(4-x3)'(4-x3)2=
=10(-x2(4-x3'+4-x32x)(4-x3)2=10(2x4-x3+4-x3x2)(4-x3)2=
=10(2x4-x3-x2-x3'+0))(4-x3)2=10(2x4-x3-x2-x3')(4-x3)2=
=10(2x4-x3+3x2*x2)(4-x3)2=10(3x4+2x4-x3)(4-x3)2=
=10x(8+x3)(4-x3)2
Приравниваем первую производную к нулю и найдем стационарные точки ( в которых y’=0):
y'=0→10x(8+x3)(4-x3)2=0→10x8+x3→10x=0 или 8+x3=0→
→x=0 или x=2
Получили 2 критические точки : x=0, x=34, x=2