Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки, представленной интервальным вариационным рядом при уровне значимости α=0,05.
Х 0,00-0,25 0,25-0,50 0,50 – 0,75 0,75 – 1,00 1,00 – 1,25
8 12 16 18 6
Решение
Вычислим числовые характеристики.
Среднее арифметическое вычислим по формуле:
X=1nxi'ni
где xi'=xi+xi+12 – середина интервалов
Х 0,00-0,25 0,25-0,50 0,50 – 0,75 0,75 – 1,00 1,00 – 1,25
xi'
0,125 0,375 0,625 0,875 1,125
ni
8 12 16 18 6
Объем выборки n=8+12+16+18+6=60
Тогда
X=1nxi'ni=0,125∙8+0,375∙12+0,625∙16+0,875∙18+1,125∙660=
=3860≈0,63
Вычислим исправленную дисперсию
Дисперсию вычисляем по формуле:
S2(X)=nn-1∙DX=nn-1∙1nxi'2ni-X2.
Вычислим
1nxi'2ni=160∙(0,1252∙8+0,3752∙12+0,6252∙16+
+0,8752∙18+1,1252∙6)=29.437560=0.49
Искомая дисперсия равна
S2X=6060-1∙0,49-0,632=6059∙0,0895=0,091
Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:
sx=S2X=0,091≈0,302
Применив критерий согласия Пирсона χ2 с заданным уровнем значимости α=0,05, проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Для этого необходимо вычислить теоретические вероятности pi и выравнивающие частоты ni'=npi.
Найдём интервальные вероятности pi
. Так как случайная величина определена на интервале (−∞,+ ∞), то крайние промежутки в ряде распределения заменяем, соответственно на (−∞ ;28] и (48; + ∞).
Искомые вероятности вычисляем по формуле
pi=Pxi-1≤X≤xi=Fxi-Fxi-1=Фxi-aσ-Фxi-1-aσ
Так как a=X=0,63 и σ=sx=0,302
Используя таблицу значений интегральной функции Лапласа и используя свойства функции Лапласа, находим:
p1=P-∞≤X≤0,25=F0,25-F-∞=Ф0,25-0,630,302-Ф-∞=
=Ф-1,258+Ф∞=-Ф1,258+Ф∞=-0,396+0,5=0,104
p2=P0,25≤X≤0,50=F0,50-F0,25=
=Ф0,50-0,630,302-Ф0,25-0,630,302=Ф-0,430-Ф-1,258=
=-Ф0,430+Ф1,258=-0,167+0,396=0,229
p3=P0,50≤X≤0,75=F0,75-F0,50=
=Ф0,75-0,630,302-Ф0,50-0,630,302=Ф0,397+Ф0,430=
=0,154+0,167=0,321
p4=P0,75≤X≤1,00=F1,00-F0,75=
=Ф1,00-0,630,302-Ф0,75-0,630,302=Ф1,225-Ф0,397=
=0,390-0,154=0,235
p5=P1,00≤X≤∞=F∞-F1,00=Ф∞-Ф1,00-0,630,302=
=Ф∞-Ф1,225=0,5-0,390=0,110
Составим вспомогательную таблицу расчетов:
i
Интервал (xi-1;xi]
Частота ni
Вероятности pi
Теоретическая частота ni'=npi
ni-ni'2ni'
1 (-∞;0,25]
8 0,104 6,248735 0,491
2 (0,25;0,50]
12 0,229 13,75702 0,224
3 (0,50;0,75]
16 0,321 19,26099 0,552
4 (0,75;1,00]
18 0,235 14,11787 1,068
5 1,00;∞
6 0,110 6,615385 0,057
∑
60
2,392
Наблюдаемое значение критерия согласия Пирсона (итоговая строка таблицы)
χнабл2=i=15ni-ni'2ni'=2,392
По таблице критических точек распределения χ2, по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k =5-1-2=2 найдём критическое значение χкр2α;k=χкр20,05;2=5,991
Так как χнабл2<χкр2, то нет оснований отвергнуть проверяемую нулевую гипотезу
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
